Номер 7, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 7. Комплексные числа - номер 7, страница 255.

Условие.

7. Выполнить действия:

1) $ (\cos 18^\circ + i\sin 18^\circ)(\cos 42^\circ + i\sin 42^\circ) $;

2) $ \frac{9(\cos \frac{7\pi}{3} + i\sin \frac{7\pi}{3})}{18(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3})} $;

3) $ (\sqrt{5}(\cos \frac{\pi}{8} + i\sin \frac{\pi}{8}))^4 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$, используется формула, согласно которой их модули перемножаются, а аргументы складываются: $z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.
В данном случае имеем два комплексных числа: $z_1 = \cos 18^\circ + i\sin 18^\circ$ и $z_2 = \cos 42^\circ + i\sin 42^\circ$.
Их модули $r_1 = 1$ и $r_2 = 1$, а аргументы $\varphi_1 = 18^\circ$ и $\varphi_2 = 42^\circ$.
Применяя формулу умножения, получаем:
$(\cos 18^\circ + i\sin 18^\circ)(\cos 42^\circ + i\sin 42^\circ) = 1 \cdot 1 (\cos(18^\circ + 42^\circ) + i\sin(18^\circ + 42^\circ)) = \cos 60^\circ + i\sin 60^\circ$.
Теперь переведем результат в алгебраическую форму, вычислив значения косинуса и синуса:
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, выражение равно $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) Для деления комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ на $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ используется формула, согласно которой их модули делятся, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$.
В данном выражении числитель $z_1 = 9\left(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}\right)$ и знаменатель $z_2 = 18\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$.
Модули равны $r_1 = 9$ и $r_2 = 18$. Аргументы равны $\varphi_1 = \frac{7\pi}{3}$ и $\varphi_2 = \frac{4\pi}{3}$.
Применяем формулу деления:
$\frac{9\left(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}\right)}{18\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)} = \frac{9}{18}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{3} - \frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{3} - \frac{4\pi}{3}\right)\right)$.
Вычисляем отношение модулей и разность аргументов:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{7\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$
Получаем выражение: $\frac{1}{2}(\cos\pi + i\sin\pi)$.
Вычисляем значения косинуса и синуса и подставляем их в выражение:
$\frac{1}{2}(-1 + i \cdot 0) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Для возведения комплексного числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ в натуральную степень $n$ используется формула Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.
В данном случае комплексное число $z = \sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)$, и его нужно возвести в степень $n=4$.
Модуль $r = \sqrt{5}$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{8}$.
Применяем формулу Муавра:
$\left(\sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)\right)^4 = (\sqrt{5})^4\left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right)$.
Вычисляем новый модуль и новый аргумент:
$r^n = (\sqrt{5})^4 = (5^{1/2})^4 = 5^2 = 25$
$n\varphi = 4 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$
Получаем выражение: $25\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$.
Вычисляем значения косинуса и синуса и подставляем их в выражение:
$25(0 + i \cdot 1) = 25i$.
Ответ: $25i$