Номер 4, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Проверь себя! - номер 4, страница 255.

Условие.

4. Решить уравнение:

1) $z^2 + 5 = 0;$

2) $z^2 - 10z + 34 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано уравнение $z^2 + 5 = 0$.

Перенесем 5 в правую часть уравнения:

$z^2 = -5$

Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, корни уравнения являются комплексными. Используя определение мнимой единицы $i$, где $i^2 = -1$, мы можем записать:

$z^2 = 5i^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$z = \pm \sqrt{5i^2} = \pm i\sqrt{5}$

Ответ: $z = \pm i\sqrt{5}$.

2)

Дано квадратное уравнение $z^2 - 10z + 34 = 0$.

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ для коэффициентов $a=1$, $b=-10$, $c=34$.

Сначала найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 100 - 136 = -36$

Дискриминант отрицателен, поэтому уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Найдем их, используя $\sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot i^2} = 6i$.

Подставим значения в формулу для корней:

$z = \frac{-(-10) \pm 6i}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 6i}{2}$

Разделив почленно, получим два корня:

$z_1 = \frac{10 + 6i}{2} = 5 + 3i$

$z_2 = \frac{10 - 6i}{2} = 5 - 3i$

Ответ: $z_1 = 5 + 3i, z_2 = 5 - 3i$.