Номер 8, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Проверь себя! - номер 8, страница 255.

Условие.

8. На множестве комплексных чисел решить уравнение:

1) $z^4 = 16$;

2) $z^3 = 64$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения уравнений вида $z^n = w$ на множестве комплексных чисел, где $w$ — известное комплексное число, используется формула для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа. Сначала число $w$ представляют в тригонометрической форме $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |w|$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(w)$ — его аргумент. Тогда $n$ корней уравнения находятся по формуле Муавра:

$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, ..., n-1$.

1) $z^4 = 16$

В данном уравнении $n=4$ и $w=16$. Представим число $16$ в тригонометрической форме. Это действительное положительное число, поэтому его модуль $r = |16| = 16$, а аргумент $\varphi = 0$.

$16 = 16(\cos 0 + i\sin 0)$.

Применяем формулу для извлечения корня 4-й степени:

$z_k = \sqrt[4]{16} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) \right) = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{2}\right) \right)$ для $k = 0, 1, 2, 3$.

Найдем все четыре корня, подставляя значения $k$:

• При $k=0$: $z_0 = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2(1 + 0i) = 2$.
• При $k=1$: $z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = 2(0 + i \cdot 1) = 2i$.
• При $k=2$: $z_2 = 2(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 2(-1 + 0i) = -2$.
• При $k=3$: $z_3 = 2(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = 2(0 + i \cdot (-1)) = -2i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -2$, $z_3 = 2i$, $z_4 = -2i$.

2) $z^3 = 64$

Здесь $n=3$ и $w=64$. Представим число $64$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |64| = 64$, аргумент $\varphi = 0$.

$64 = 64(\cos 0 + i\sin 0)$.

Применяем формулу для извлечения корня 3-й степени:

$z_k = \sqrt[3]{64} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{3}\right) \right) = 4 \left( \cos\left(\frac{2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{3}\right) \right)$ для $k = 0, 1, 2$.

Найдем все три корня, подставляя значения $k$:

• При $k=0$: $z_0 = 4(\cos 0 + i\sin 0) = 4(1 + 0i) = 4$.
• При $k=1$: $z_1 = 4(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = 4(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + 2i\sqrt{3}$.
• При $k=2$: $z_2 = 4(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 4(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 - 2i\sqrt{3}$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $z_1 = 4$, $z_2 = -2 + 2i\sqrt{3}$, $z_3 = -2 - 2i\sqrt{3}$.