Номер 2, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Проверь себя! - номер 2, страница 255.

Условие.

2. Вычислить:

1) $ \frac{2+5i}{2-5i} + \frac{2-5i}{2+5i}; $

2) $ \left(\frac{1+i^{11}}{2-i^{7}}\right)^2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{2+5i}{2-5i} + \frac{2-5i}{2+5i} $, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $ (2-5i)(2+5i) $. Это произведение комплексно-сопряженных чисел, которое вычисляется по формуле $ (a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2 $.

$ (2-5i)(2+5i) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 $.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение в числителе:

$ \frac{2+5i}{2-5i} + \frac{2-5i}{2+5i} = \frac{(2+5i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)} + \frac{(2-5i)(2-5i)}{(2+5i)(2-5i)} = \frac{(2+5i)^2 + (2-5i)^2}{(2-5i)(2+5i)} $.

Вычислим числитель. Для этого раскроем квадраты, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$ (2+5i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5i + (5i)^2 = 4 + 20i + 25i^2 = 4 + 20i - 25 = -21 + 20i $.

$ (2-5i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5i + (5i)^2 = 4 - 20i + 25i^2 = 4 - 20i - 25 = -21 - 20i $.

Теперь сложим полученные выражения:

$ (-21 + 20i) + (-21 - 20i) = -21 - 21 + 20i - 20i = -42 $.

Подставим вычисленные значения числителя и знаменателя в дробь:

$ \frac{-42}{29} $.

Ответ: $ -\frac{42}{29} $.

2)

Для вычисления выражения $ \left( \frac{1+i^{11}}{2-i^7} \right)^2 $ необходимо сначала упростить степени мнимой единицы $ i $, где $ i^2 = -1 $.

Степени мнимой единицы циклически повторяются с периодом 4: $ i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1 $. Чтобы найти значение $ i^n $, можно найти остаток от деления $ n $ на 4.

Вычислим $ i^{11} $: $ 11 = 4 \cdot 2 + 3 $. Следовательно, $ i^{11} = i^3 = -i $.

Вычислим $ i^7 $: $ 7 = 4 \cdot 1 + 3 $. Следовательно, $ i^7 = i^3 = -i $.

Подставим упрощенные степени в исходное выражение:

$ \left( \frac{1+i^{11}}{2-i^7} \right)^2 = \left( \frac{1+(-i)}{2-(-i)} \right)^2 = \left( \frac{1-i}{2+i} \right)^2 $.

Теперь упростим дробь в скобках. Для избавления от мнимой единицы в знаменателе умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $ 2+i $ является $ 2-i $.

$ \frac{1-i}{2+i} = \frac{(1-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} $.

Вычислим произведение в числителе: $ (1-i)(2-i) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot i - i \cdot 2 + (-i)(-i) = 2 - i - 2i + i^2 = 2 - 3i - 1 = 1 - 3i $.

Вычислим произведение в знаменателе: $ (2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5 $.

Таким образом, дробь равна $ \frac{1-3i}{5} $.

Осталось возвести полученное комплексное число в квадрат:

$ \left( \frac{1-3i}{5} \right)^2 = \frac{(1-3i)^2}{5^2} = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3i + (3i)^2}{25} = \frac{1 - 6i + 9i^2}{25} = \frac{1 - 6i - 9}{25} = \frac{-8 - 6i}{25} $.

Результат можно также представить в алгебраической форме: $ -\frac{8}{25} - \frac{6}{25}i $.

Ответ: $ \frac{-8 - 6i}{25} $.