Номер 12, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 12, страница 254.

Условие.

12. Что называется аргументом комплексного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Аргументом ненулевого комплексного числа $z = a + bi$ называется угол $\phi$ между положительным направлением действительной оси (осью абсцисс) и вектором, проведенным из начала координат в точку $P(a, b)$, соответствующую данному комплексному числу на комплексной плоскости. Аргумент обозначается как $\arg(z)$ или $\phi$.

Геометрически, любое комплексное число $z = a + bi$ можно изобразить точкой с координатами $(a, b)$ на плоскости, которую называют комплексной плоскостью. Действительная часть $a$ откладывается по горизонтальной оси (ось Re), а мнимая часть $b$ — по вертикальной (ось Im). Вектор, соединяющий начало координат $O(0,0)$ с точкой $P(a,b)$, наглядно представляет комплексное число. Длина этого вектора называется модулем числа $|z|$, а угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси Re, и является его аргументом.

Аргумент $\phi$ связан с действительной частью $a$ и мнимой частью $b$ через тригонометрические функции:

$a = |z| \cos(\phi)$

$b = |z| \sin(\phi)$

Из этих соотношений следует, что тангенс аргумента можно найти как отношение мнимой части к действительной:

$\tan(\phi) = \frac{b}{a}$

Важно отметить, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Если $\phi$ является аргументом числа $z$, то любой угол вида $\phi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), также будет аргументом этого числа. Это связано с периодичностью тригонометрических функций. Множество всех значений аргумента обозначают $\operatorname{Arg}(z)$.

Чтобы избежать этой неоднозначности, вводится понятие главного значения аргумента, которое обычно обозначают $\arg(z)$. Это то значение угла, которое принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Для нахождения главного значения аргумента, зная $a$ и $b$, используют следующие уточненные формулы, которые учитывают четверть, в которой находится точка $P(a, b)$:

$\arg(z) = \phi = \begin{cases} \arctan(\frac{b}{a}) & \text{, если } a > 0 \\ \arctan(\frac{b}{a}) + \pi & \text{, если } a < 0 \text{ и } b \ge 0 \\ \arctan(\frac{b}{a}) - \pi & \text{, если } a < 0 \text{ и } b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & \text{, если } a = 0 \text{ и } b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{, если } a = 0 \text{ и } b < 0 \end{cases}$

Для числа $z=0$ аргумент не определен.

Например, для числа $z = -1 - i$:$a = -1$, $b = -1$. Точка $(-1, -1)$ находится в III координатной четверти.$\arctan(\frac{-1}{-1}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.Поскольку $a < 0$ и $b < 0$, используем третью формулу:$\arg(z) = \arctan(1) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.

Аргумент является ключевой характеристикой комплексного числа наряду с модулем и используется для представления числа в тригонометрической $z = |z|(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$ и показательной $z = |z|e^{i\phi}$ формах.

Ответ: Аргументом комплексного числа $z = a + bi$ называется угол $\phi$ между положительным направлением действительной оси и вектором, идущим из начала координат в точку $(a, b)$, которая представляет число $z$ на комплексной плоскости.