Страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

682. Найти множество точек $z$ комплексной плоскости, заданное условием:

1) один из аргументов числа $z$ равен нулю;

2) один из аргументов числа $z$ равен $\frac{5\pi}{2}$;

3) один из аргументов числа $z$ удовлетворяет неравенствам $2\pi < \varphi < 3\pi$;

4) один из аргументов числа $z$ удовлетворяет неравенствам $0 \leq \varphi < 2\pi$.

Комплексное число $z$ в тригонометрической форме записывается как $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — модуль числа (расстояние от начала координат), а $\varphi = \arg z$ — его аргумент (угол, который вектор, проведенный из начала координат к точке $z$, образует с положительным направлением действительной оси). Аргумент определяется для любого ненулевого комплексного числа ($z \ne 0$) и является многозначной величиной: если $\varphi$ — один из аргументов, то все остальные имеют вид $\varphi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

1) один из аргументов числа z равен нулю;

Условие означает, что один из аргументов числа $z$, обозначим его $\varphi$, равен 0. Подставим это значение в тригонометрическую форму комплексного числа: $z = r(\cos 0 + i \sin 0) = r(1 + i \cdot 0) = r$. Поскольку аргумент определен только для ненулевых чисел, то $z \ne 0$, а значит, модуль $r = |z| > 0$. Таким образом, $z$ является положительным действительным числом. На комплексной плоскости множество таких чисел представляет собой открытый луч, исходящий из начала координат и совпадающий с положительной полуосью действительных чисел (осью Ox).

Ответ: Множество точек $z$ — это открытый луч, выходящий из начала координат вдоль положительного направления действительной оси (положительная полуось Ox, не включая точку 0).

2) один из аргументов числа z равен $\frac{5\pi}{2}$;

Условие гласит, что один из аргументов $\varphi$ равен $\frac{5\pi}{2}$. Мы можем найти главный аргумент, приведя это значение к стандартному диапазону, например $[0, 2\pi)$, вычитанием $2\pi$: $\varphi' = \frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi - 4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. Подставим это значение в тригонометрическую форму: $z = r(\cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2})) = r(0 + i \cdot 1) = ri$. Так как $z \ne 0$, модуль $r = |z| > 0$. Числа вида $ri$, где $r > 0$, являются чисто мнимыми с положительной мнимой частью. На комплексной плоскости они образуют открытый луч, исходящий из начала координат и совпадающий с положительной полуосью мнимых чисел (осью Oy).

Ответ: Множество точек $z$ — это открытый луч, выходящий из начала координат вдоль положительного направления мнимой оси (положительная полуось Oy, не включая точку 0).

3) один из аргументов числа z удовлетворяет неравенствам $2\pi < \varphi < 3\pi$;

Пусть $\varphi$ — один из аргументов числа $z$, удовлетворяющий условию $2\pi < \varphi < 3\pi$. Любой другой аргумент этого же числа $z$ можно записать как $\varphi' = \varphi - 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Выберем $k=1$. Тогда для нового аргумента $\varphi'$ получаем неравенство: $2\pi - 2\pi < \varphi - 2\pi < 3\pi - 2\pi$ $0 < \varphi' < \pi$. Это означает, что искомое множество точек — это все такие точки $z$, для которых хотя бы один из аргументов лежит в интервале $(0, \pi)$. Углы в этом диапазоне соответствуют точкам, расположенным в верхней полуплоскости. Неравенство строгое, поэтому точки на границе (на действительной оси, где аргумент равен 0 или $\pi$) не включаются.

Ответ: Множество точек $z$ — это верхняя полуплоскость, не включая действительную ось (то есть все точки $z=x+iy$, для которых $y > 0$).

4) один из аргументов числа z удовлетворяет неравенствам $0 \le \varphi < 2\pi$.

Для любого ненулевого комплексного числа $z$ существует единственный аргумент $\varphi$, который удовлетворяет неравенству $0 \le \varphi < 2\pi$. Этот аргумент часто называют главным значением аргумента. Условие того, что "один из аргументов" попадает в этот промежуток, выполняется для абсолютно любого комплексного числа, у которого в принципе существует аргумент. Аргумент не определен только для одного числа — нуля ($z=0$), так как для него нельзя однозначно определить угол. Следовательно, данному условию удовлетворяют все точки комплексной плоскости, кроме начала координат.

Ответ: Множество точек $z$ — это вся комплексная плоскость, за исключением точки $z=0$.

683. Доказать, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ справедливо равенство:

1) $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \overline{z_2}$;

2) $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}, z_2 \neq 0.$

Для доказательства представим комплексные числа $z_1$ и $z_2$ в алгебраической форме: $z_1 = a_1 + i b_1$ и $z_2 = a_2 + i b_2$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Тогда их комплексно-сопряженные числа равны $\bar{z_1} = a_1 - i b_1$ и $\bar{z_2} = a_2 - i b_2$.

Докажем равенство $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2}$.

Сначала найдем левую часть равенства. Вычислим произведение $z_1 z_2$: $z_1 z_2 = (a_1 + i b_1)(a_2 + i b_2) = a_1 a_2 + i a_1 b_2 + i b_1 a_2 + i^2 b_1 b_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1)$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное число к этому произведению: $\overline{z_1 z_2} = \overline{(a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1)} = (a_1 a_2 - b_1 b_2) - i(a_1 b_2 + a_2 b_1)$.

Далее найдем правую часть равенства. Вычислим произведение сопряженных чисел $\bar{z_1} \bar{z_2}$: $\bar{z_1} \bar{z_2} = (a_1 - i b_1)(a_2 - i b_2) = a_1 a_2 - i a_1 b_2 - i b_1 a_2 + i^2 b_1 b_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) - i(a_1 b_2 + a_2 b_1)$.

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они равны. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.

Докажем равенство $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$ при $z_2 \neq 0$.

Обозначим частное $w = \frac{z_1}{z_2}$. Отсюда следует, что $z_1 = w \cdot z_2$.

Возьмем комплексно-сопряженное от обеих частей равенства $z_1 = w z_2$: $\bar{z_1} = \overline{w z_2}$.

Используя свойство сопряжения произведения, доказанное в пункте 1), получаем: $\bar{z_1} = \bar{w} \cdot \bar{z_2}$.

Выразим из этого равенства $\bar{w}$. Так как по условию $z_2 \neq 0$, то и $\bar{z_2} \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части на $\bar{z_2}$: $\bar{w} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$.

Теперь подставим обратно $w = \frac{z_1}{z_2}$: $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.

684. Пользуясь записью комплексных чисел в тригонометрической форме, найти $ \cos 15^\circ $ и $ \sin 15^\circ $.

Для нахождения значений $\cos 15^\circ$ и $\sin 15^\circ$ с помощью комплексных чисел, представим угол $15^\circ$ как разность двух известных углов, например, $45^\circ$ и $30^\circ$ ($15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$).

Рассмотрим два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической форме с аргументами $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно и модулями, равными 1 для простоты:

$z_1 = \cos 45^\circ + i\sin 45^\circ$

$z_2 = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ$

При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)}{r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$

В нашем случае $r_1=1$ и $r_2=1$. Тогда частное $z = \frac{z_1}{z_2}$ будет иметь модуль $\frac{1}{1} = 1$ и аргумент $\varphi = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$. Таким образом,

$z = \cos 15^\circ + i\sin 15^\circ$

Теперь найдем это же частное $z$, используя алгебраическую форму чисел $z_1$ и $z_2$. Значения синусов и косинусов для углов $45^\circ$ и $30^\circ$ известны:

$z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

$z_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

Выполним деление:

$z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}}$

Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$:

$z = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2})}{(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2})}$

Вычислим числитель:

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - i^2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} - i\frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + i(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Вычислим знаменатель:

$(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (i\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} - i^2\frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

Таким образом, частное в алгебраической форме равно:

$z = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Теперь приравняем два выражения для $z$ (тригонометрическое и алгебраическое):

$\cos 15^\circ + i\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Отсюда получаем:

Действительная часть: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Мнимая часть: $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

1. Как определяется равенство комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?

Равенство двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, определяется на основе равенства их действительных и мнимых частей.

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид $z = a + bi$, где $a$ — это действительная (вещественная) часть числа (обозначается как $a = \text{Re}(z)$), $b$ — это мнимая часть числа (обозначается как $b = \text{Im}(z)$), а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$.

Рассмотрим два комплексных числа $z_1$ и $z_2$, записанных в алгебраической форме:

$z_1 = a_1 + b_1i$

$z_2 = a_2 + b_2i$

Определение

Два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ называются равными ($z_1 = z_2$) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и одновременно равны их мнимые части.

Математически это условие записывается в виде системы двух равенств для действительных чисел: $$ a_1 + b_1i = a_2 + b_2i \iff \begin{cases} a_1 = a_2 \\ b_1 = b_2 \end{cases} $$ Таким образом, одно равенство в комплексных числах эквивалентно системе двух равенств в действительных числах.

Пример

Найдем действительные числа $x$ и $y$ из уравнения $(2x - 4) + (y + 5)i = 10 - 3i$.

Согласно определению равенства комплексных чисел, мы должны приравнять действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения.

Приравниваем действительные части:

$2x - 4 = 10$

Приравниваем мнимые части:

$y + 5 = -3$

Теперь решим полученные уравнения:

$2x = 10 + 4 \implies 2x = 14 \implies x = 7$

$y = -3 - 5 \implies y = -8$

Следовательно, исходное равенство выполняется при $x=7$ и $y=-8$.

Ответ: Два комплексных числа, записанных в алгебраической форме $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$, являются равными тогда и только тогда, когда их действительные части равны ($a_1 = a_2$) и их мнимые части равны ($b_1 = b_2$).

2. Как производится сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме: $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, где $a, b, c, d$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$.

Сложение
Сложение двух комплексных чисел производится путем почленного сложения их действительных и мнимых частей. Действительная часть суммы равна сумме действительных частей, а мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей.
$z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i$.
Ответ: $z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$.

Вычитание
Вычитание одного комплексного числа из другого производится путем почленного вычитания их действительных и мнимых частей. Из действительной части уменьшаемого вычитается действительная часть вычитаемого, и из мнимой части уменьшаемого вычитается мнимая часть вычитаемого.
$z_1 - z_2 = (a + bi) - (c + di) = a - c + bi - di = (a - c) + (b - d)i$.
Ответ: $z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$.

Умножение
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется как умножение двух двучленов по обычным правилам алгебры с последующей заменой $i^2$ на $-1$ и приведением подобных членов.
$z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = a \cdot c + a \cdot (di) + (bi) \cdot c + (bi) \cdot (di) = ac + adi + bci + bdi^2$.
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i$.
Ответ: $z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$.

Деление
Деление комплексного числа $z_1$ на ненулевое комплексное число $z_2$ (т.е. $z_2 \neq 0$) производится путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным для числа $z_2 = c + di$ является число $\bar{z_2} = c - di$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}$.
В знаменателе получаем произведение комплексного числа на сопряженное ему, что равно сумме квадратов его действительной и мнимой частей: $(c + di)(c - di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 + d^2$.
В числителе, по правилу умножения, получаем: $(a + bi)(c - di) = (ac - b(-d)) + (a(-d) + bc)i = (ac + bd) + (bc - ad)i$.
Объединяя результаты, имеем:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$.
Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$, при $z_2 \neq 0$.

3. Какими свойствами обладают сложение и умножение комплексных чисел?

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают рядом свойств, которые полностью аналогичны свойствам этих операций для действительных чисел. Совокупность этих свойств означает, что множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ вместе с операциями сложения и умножения образует алгебраическую структуру, называемую полем.

Рассмотрим эти свойства подробно для произвольных комплексных чисел $z_1, z_2, z_3$.

Свойства сложения

1. Коммутативность (переместительный закон): Сумма не меняется от перемены мест слагаемых.
$z_1 + z_2 = z_2 + z_1$

2. Ассоциативность (сочетательный закон): При сложении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке.
$(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$

3. Существование нейтрального элемента (нуля): Существует комплексное число $0 = 0 + 0i$, прибавление которого к любому комплексному числу $z$ не изменяет его.
$z + 0 = z$

4. Существование противоположного элемента: Для любого комплексного числа $z = a + bi$ существует противоположное ему число $-z = -a - bi$, такое, что их сумма равна нулю.
$z + (-z) = 0$

Свойства умножения

1. Коммутативность (переместительный закон): Произведение не меняется от перемены мест множителей.
$z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$

2. Ассоциативность (сочетательный закон): При умножении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке.
$(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$

3. Существование нейтрального элемента (единицы): Существует комплексное число $1 = 1 + 0i$, умножение на которое любого комплексного числа $z$ не изменяет его.
$z \cdot 1 = z$

4. Существование обратного элемента: Для любого ненулевого комплексного числа $z \neq 0$ существует обратное ему число $z^{-1}$, такое, что их произведение равно единице. Если $z = a + bi$, то $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{a}{a^2+b^2} - i\frac{b}{a^2+b^2}$.
$z \cdot z^{-1} = 1$

Свойство, связывающее сложение и умножение

1. Дистрибутивность (распределительный закон): Умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть можно "раскрывать скобки".
$z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$

Ответ: Сложение и умножение комплексных чисел обладают свойствами коммутативности (переместительности), ассоциативности (сочетательности), для обеих операций существуют нейтральные элементы (ноль для сложения, единица для умножения) и обратные элементы (противоположное число для сложения, обратное число для умножения любого ненулевого числа). Также умножение является дистрибутивным по отношению к сложению. Все эти свойства вместе означают, что комплексные числа образуют поле.

4. Всегда ли выполнима операция умножения комплексных чисел? Всегда ли одно комплексное число можно разделить на другое?

Всегда ли выполнима операция умножения комплексных чисел?
Да, операция умножения комплексных чисел выполнима всегда. Рассмотрим два произвольных комплексных числа в алгебраической форме: $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$).
Произведение этих чисел находится по правилу умножения многочленов:
$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1ia_2 + b_1b_2i^2$
Сгруппируем действительные и мнимые части и учтем, что $i^2 = -1$:
$z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i$
В результате мы получили новое комплексное число $z_3 = a_3 + b_3i$, где его действительная часть $a_3 = a_1a_2 - b_1b_2$ и мнимая часть $b_3 = a_1b_2 + b_1a_2$ являются действительными числами, так как они получены в результате операций сложения, вычитания и умножения действительных чисел $a_1, b_1, a_2, b_2$. Поскольку для любых двух комплексных чисел их произведение всегда является определенным комплексным числом, операция умножения выполнима всегда.
Ответ: Да, операция умножения комплексных чисел выполнима всегда.

Всегда ли одно комплексное число можно разделить на другое?
Нет, не всегда. Операция деления комплексного числа $z_1$ на $z_2$ выполнима только в том случае, если делитель $z_2$ не равен нулю.
Рассмотрим деление двух комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$. Чтобы выполнить деление, нужно найти такое число $z_3$, что $z_1 = z_2 \cdot z_3$. Практически деление выполняется путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженное к $z_2 = a_2 + b_2i$ есть число $\bar{z_2} = a_2 - b_2i$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)}$
Вычислим знаменатель:
$(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i) = a_2^2 - (b_2i)^2 = a_2^2 - b_2^2i^2 = a_2^2 + b_2^2$
Вычислим числитель:
$(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i) = (a_1a_2 + b_1b_2) + (b_1a_2 - a_1b_2)i$
Тогда частное равно:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i \frac{b_1a_2 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}$
Эта формула имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю: $a_2^2 + b_2^2 \neq 0$. Так как $a_2$ и $b_2$ — действительные числа, $a_2^2 \geq 0$ и $b_2^2 \geq 0$. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю, то есть $a_2=0$ и $b_2=0$. Это означает, что делитель $z_2 = 0 + 0i = 0$.
Таким образом, деление на любое комплексное число, кроме нуля, всегда выполнимо. Деление на ноль в комплексных числах, как и в действительных, не определено.
Ответ: Нет, не всегда. Одно комплексное число можно разделить на другое, только если делитель не равен нулю ($z_2 \neq 0$).

5. Какие числа называют чисто мнимыми?

Чисто мнимыми числами называют комплексные числа, действительная (вещественная) часть которых равна нулю.

Любое комплексное число $z$ можно представить в алгебраической форме как $z = a + bi$, где $a$ — это действительная часть числа (обозначается $\operatorname{Re}(z)$), $b$ — это мнимая часть числа (обозначается $\operatorname{Im}(z)$), а $i$ — это мнимая единица, для которой выполняется свойство $i^2 = -1$. Коэффициенты $a$ и $b$ являются действительными числами.

Соответственно, условием того, что число $z = a + bi$ является чисто мнимым, выступает равенство его действительной части нулю: $a = 0$. Таким образом, чисто мнимые числа имеют вид $z = 0 + bi = bi$.

Примеры чисто мнимых чисел: $5i$, $-2.5i$, $i\sqrt{3}$.

Согласно этому определению, число 0, которое можно записать как $0 = 0 + 0i$, также является чисто мнимым, поскольку его действительная часть равна нулю. В то же время оно является и чисто действительным, так как его мнимая часть тоже равна нулю.

Ответ: Чисто мнимыми называют комплексные числа, действительная часть которых равна нулю. Такие числа имеют вид $bi$, где $b$ — любое действительное число, а $i$ — мнимая единица.

6. Какое число называют сопряжённым комплексному числу $a + bi$?

Комплексное число в алгебраической форме записывается как $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — это действительные числа, а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$. Число $a$ называется действительной (вещественной) частью комплексного числа, а число $b$ — мнимой частью.

Числом, сопряжённым к комплексному числу $z = a + bi$, называется комплексное число, которое обозначается как $\bar{z}$ и получается из исходного числа путём изменения знака его мнимой части на противоположный. Действительная часть при этом остаётся неизменной.

Таким образом, для комплексного числа $z = a + bi$ сопряжённым является число:
$\bar{z} = a - bi$

Примеры:

• Для числа $z = 3 + 5i$, сопряжённым будет $\bar{z} = 3 - 5i$.
• Для числа $z = -1 - 2i$, сопряжённым будет $\bar{z} = -1 + 2i$.
• Для чисто мнимого числа $z = 8i$ (действительная часть равна 0), сопряжённым будет $\bar{z} = -8i$.
• Для действительного числа $z = 15$ (мнимая часть равна 0), сопряжённое число совпадает с исходным: $\bar{z} = 15$.

Геометрически на комплексной плоскости сопряжённое число является точкой, симметричной точке исходного числа относительно действительной оси (оси абсцисс).

Ответ: Сопряжённым комплексному числу $a + bi$ называют число $a - bi$.

7. Какое число называют противоположным комплексному числу $a + bi$?

Противоположным комплексному числу $z = a + bi$ (где $a$ и $b$ – действительные числа, $i$ – мнимая единица) называется такое комплексное число $-z$, которое при сложении с исходным числом $z$ дает в результате ноль. Это число также называют аддитивно обратным.

Основное свойство, определяющее противоположное число, выражается равенством:

$z + (-z) = 0$

Чтобы найти явный вид этого числа для $z = a + bi$, обозначим искомое противоположное число как $x + yi$. Подставим их в определяющее равенство:

$(a + bi) + (x + yi) = 0$

Согласно правилу сложения комплексных чисел, мы складываем их действительные и мнимые части по отдельности:

$(a + x) + (b + y)i = 0$

Число ноль в комплексной форме записывается как $0 + 0i$. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части соответственно. Это позволяет нам составить систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} a + x = 0 \\ b + y = 0 \end{cases} $

Решая данную систему относительно $x$ и $y$, получаем:

$x = -a$

$y = -b$

Таким образом, противоположным для комплексного числа $a + bi$ является число $-a + (-b)i$, что обычно записывается как $-a - bi$. Оно получается путем изменения знаков у действительной и мнимой частей исходного числа.

Например, для числа $z = 2 - 7i$ противоположным будет число $-z = -2 + 7i$. Их сумма: $(2 - 7i) + (-2 + 7i) = (2-2) + (-7+7)i = 0 + 0i = 0$.

Геометрически на комплексной плоскости число $-z$ является точкой, симметричной точке $z$ относительно начала координат $(0, 0)$.

Ответ: Противоположным комплексному числу $a + bi$ называют число $-a - bi$.

8. Как геометрически интерпретируются комплексные числа?

Комплексные числа можно геометрически интерпретировать на двумерной координатной плоскости, которая называется комплексной плоскостью (или плоскостью Аргана-Гаусса).

В этой интерпретации каждому комплексному числу вида $z = a + bi$ (где $a$ и $b$ — действительные числа) ставится в соответствие точка с координатами $(a, b)$ на этой плоскости.

• Горизонтальная ось (ось абсцисс) называется действительной осью. На ней откладывается действительная часть числа, $Re(z) = a$.
• Вертикальная ось (ось ординат) называется мнимой осью. На ней откладывается мнимая часть числа, $Im(z) = b$.

Таким образом, комплексное число $z = a + bi$ можно рассматривать двумя способами:
1. Как точку $M$ с координатами $(a, b)$ на комплексной плоскости.
2. Как вектор (радиус-вектор) $\vec{OM}$, проведенный из начала координат $O(0, 0)$ в точку $M(a, b)$.

Эта геометрическая модель позволяет наглядно представить не только сами числа, но и операции над ними.

Модуль и аргумент комплексного числа

Геометрическая интерпретация особенно полезна при использовании тригонометрической формы комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

• Модуль комплексного числа, $|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$, геометрически представляет собой длину вектора $\vec{OM}$ или, что то же самое, расстояние от начала координат до точки $M$.
• Аргумент комплексного числа, $\arg(z) = \varphi$, геометрически представляет собой угол между положительным направлением действительной оси и вектором $\vec{OM}$, отсчитываемый против часовой стрелки.

Геометрический смысл операций над комплексными числами

1. Сложение и вычитание
Сложение двух комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ соответствует сложению их векторов. Вектор суммы $z_1 + z_2$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $z_1$ и $z_2$ как на сторонах (сложение по правилу параллелограмма). Вычитание $z_1 - z_2$ интерпретируется как сложение векторов $z_1$ и $(-z_2)$, где вектор $(-z_2)$ противоположен вектору $z_2$.

2. Умножение
При умножении двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их модули перемножаются, а аргументы складываются:
$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
$\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$
Геометрически умножение числа $z_1$ на число $z_2$ означает растяжение вектора $z_1$ в $|z_2|$ раз и его поворот на угол $\arg(z_2)$ против часовой стрелки. Например, умножение на мнимую единицу $i$ (у которой $|i|=1, \arg(i)=\pi/2$) соответствует повороту вектора на $90^\circ$ против часовой стрелки.

3. Деление
При делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:
$|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$
$\arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$
Геометрически деление числа $z_1$ на число $z_2$ означает сжатие (или растяжение) вектора $z_1$ в $1/|z_2|$ раз и его поворот на угол $\arg(z_2)$ по часовой стрелке.

4. Комплексное сопряжение
Переход от числа $z = a + bi$ к сопряженному ему числу $\bar{z} = a - bi$ геометрически означает симметричное отражение точки (или вектора), соответствующей числу $z$, относительно действительной оси.

Ответ: Комплексные числа геометрически интерпретируются как точки или радиус-векторы на координатной плоскости (комплексной плоскости), где действительная часть откладывается по оси абсцисс, а мнимая — по оси ординат. Арифметические операции над комплексными числами соответствуют геометрическим преобразованиям этих точек или векторов: сложение — сложению векторов по правилу параллелограмма, а умножение — комбинации растяжения (изменения длины вектора) и поворота.

9. Каково взаимное расположение на комплексной плоскости чисел:

а) $z$ и $\bar{z}$;

б) $z$ и $(-z)$?

а) z и z̄

Рассмотрим произвольное комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ — это действительная часть числа ($x = \text{Re}(z)$), а $y$ — мнимая часть ($y = \text{Im}(z)$). На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Комплексно-сопряженное число $z̄$ (читается "z с чертой") получается из числа $z$ заменой знака его мнимой части на противоположный: $z̄ = x - iy$. Этому числу на комплексной плоскости соответствует точка с координатами $(x, -y)$.

Сравним координаты точек $(x, y)$ и $(x, -y)$. У них одинаковая действительная часть (координата по оси абсцисс) и противоположные по знаку мнимые части (координаты по оси ординат). Такое расположение точек означает, что они симметричны друг другу относительно оси абсцисс. В терминах комплексной плоскости ось абсцисс называется действительной осью.

Ответ: Точки, изображающие на комплексной плоскости числа $z$ и $z̄$, симметричны относительно действительной оси.

б) z и (-z)

Возьмем то же комплексное число $z = x + iy$, которому соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Число $-z$, противоположное числу $z$, равно $-(x + iy) = -x - iy$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-x, -y)$.

Сравним координаты точек $(x, y)$ и $(-x, -y)$. У них противоположны по знаку как действительные части (координаты по оси абсцисс), так и мнимые части (координаты по оси ординат). Такое расположение точек означает, что они симметричны друг другу относительно начала координат (точки $(0, 0)$). Это также можно интерпретировать как поворот точки $z$ на 180° ($π$ радиан) вокруг начала координат.

Ответ: Точки, изображающие на комплексной плоскости числа $z$ и $-z$, симметричны относительно начала координат.

10. Что называется модулем комплексного числа?

Модулем комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ – его действительная часть ($Re(z)$), а $b$ – мнимая часть ($Im(z)$), называется неотрицательное действительное число, которое обозначается как $|z|$ или $r$.

С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа – это расстояние от начала координат $(0, 0)$ до точки $(a, b)$, которая представляет это число на комплексной плоскости. Таким образом, модуль является длиной радиус-вектора, проведенного из начала координат в эту точку.

Для вычисления модуля комплексного числа, заданного в алгебраической форме $z = a + bi$, используется формула, которая следует из теоремы Пифагора:$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$Например, для комплексного числа $z = 3 - 4i$, где $a=3$ и $b=-4$, модуль будет равен:$$|3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Модуль также тесно связан с понятием комплексно-сопряженного числа. Для числа $z = a + bi$ сопряженным является $\bar{z} = a - bi$. Произведение числа на его сопряженное всегда равно квадрату его модуля:$$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$$Соответственно, $|z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$.

В тригонометрической форме записи комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, множитель $r$ и представляет собой модуль этого числа.

Ответ: Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называется расстояние от начала координат до точки $(a, b)$ на комплексной плоскости, которое вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

11. В чём состоит геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел?

Каждому комплексному числу $z = x + iy$ можно поставить в соответствие точку $M(x, y)$ на координатной плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс ($Ox$) называется действительной осью, а ось ординат ($Oy$) — мнимой осью. Число $z$ также можно представить в виде радиус-вектора, проведенного из начала координат $O(0, 0)$ в точку $M(x, y)$.

Модуль комплексного числа, обозначаемый как $|z|$, представляет собой длину этого радиус-вектора, то есть расстояние от начала координат до точки $M$. По теореме Пифагора, модуль вычисляется по формуле: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Теперь рассмотрим два комплексных числа, $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$. На комплексной плоскости им соответствуют две точки: $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2)$.

Разность этих двух чисел — это новое комплексное число:

$z_1 - z_2 = (x_1 + iy_1) - (x_2 + iy_2) = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)$

Найдем модуль этой разности, используя определение модуля:

$|z_1 - z_2| = |(x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

Полученное выражение является стандартной формулой для вычисления расстояния между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ в декартовой системе координат.

Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ геометрически равен расстоянию между точками, которые представляют эти числа на комплексной плоскости.

В векторной интерпретации, разность $z_1 - z_2$ соответствует вектору $\vec{BA}$, который начинается в точке $B(z_2)$ и заканчивается в точке $A(z_1)$. Тогда модуль разности $|z_1 - z_2|$ — это длина этого вектора.

Ответ: Геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел $|z_1 - z_2|$ заключается в том, что он равен расстоянию между точками на комплексной плоскости, соответствующими этим числам.

12. Что называется аргументом комплексного числа?

Аргументом ненулевого комплексного числа $z = a + bi$ называется угол $\phi$ между положительным направлением действительной оси (осью абсцисс) и вектором, проведенным из начала координат в точку $P(a, b)$, соответствующую данному комплексному числу на комплексной плоскости. Аргумент обозначается как $\arg(z)$ или $\phi$.

Геометрически, любое комплексное число $z = a + bi$ можно изобразить точкой с координатами $(a, b)$ на плоскости, которую называют комплексной плоскостью. Действительная часть $a$ откладывается по горизонтальной оси (ось Re), а мнимая часть $b$ — по вертикальной (ось Im). Вектор, соединяющий начало координат $O(0,0)$ с точкой $P(a,b)$, наглядно представляет комплексное число. Длина этого вектора называется модулем числа $|z|$, а угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси Re, и является его аргументом.

Аргумент $\phi$ связан с действительной частью $a$ и мнимой частью $b$ через тригонометрические функции:

$a = |z| \cos(\phi)$

$b = |z| \sin(\phi)$

Из этих соотношений следует, что тангенс аргумента можно найти как отношение мнимой части к действительной:

$\tan(\phi) = \frac{b}{a}$

Важно отметить, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Если $\phi$ является аргументом числа $z$, то любой угол вида $\phi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), также будет аргументом этого числа. Это связано с периодичностью тригонометрических функций. Множество всех значений аргумента обозначают $\operatorname{Arg}(z)$.

Чтобы избежать этой неоднозначности, вводится понятие главного значения аргумента, которое обычно обозначают $\arg(z)$. Это то значение угла, которое принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Для нахождения главного значения аргумента, зная $a$ и $b$, используют следующие уточненные формулы, которые учитывают четверть, в которой находится точка $P(a, b)$:

$\arg(z) = \phi = \begin{cases} \arctan(\frac{b}{a}) & \text{, если } a > 0 \\ \arctan(\frac{b}{a}) + \pi & \text{, если } a < 0 \text{ и } b \ge 0 \\ \arctan(\frac{b}{a}) - \pi & \text{, если } a < 0 \text{ и } b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & \text{, если } a = 0 \text{ и } b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{, если } a = 0 \text{ и } b < 0 \end{cases}$

Для числа $z=0$ аргумент не определен.

Например, для числа $z = -1 - i$:$a = -1$, $b = -1$. Точка $(-1, -1)$ находится в III координатной четверти.$\arctan(\frac{-1}{-1}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.Поскольку $a < 0$ и $b < 0$, используем третью формулу:$\arg(z) = \arctan(1) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.

Аргумент является ключевой характеристикой комплексного числа наряду с модулем и используется для представления числа в тригонометрической $z = |z|(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$ и показательной $z = |z|e^{i\phi}$ формах.

Ответ: Аргументом комплексного числа $z = a + bi$ называется угол $\phi$ между положительным направлением действительной оси и вектором, идущим из начала координат в точку $(a, b)$, которая представляет число $z$ на комплексной плоскости.

13. Как записываются комплексные числа в тригонометрической форме?

Любое ненулевое комплексное число $z = a + bi$, заданное в алгебраической форме, можно представить в тригонометрической форме. Эта форма записи использует полярные координаты точки $(a, b)$ на комплексной плоскости. Для перехода к тригонометрической форме необходимо определить модуль и аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа, обозначаемый как $r$ или $|z|$, — это расстояние от начала координат до точки $(a, b)$. Он вычисляется по формуле:
$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Аргумент комплексного числа, обозначаемый как $\phi$ (фи), — это угол, образованный вектором, идущим из начала координат в точку $(a, b)$, и положительным направлением действительной оси. Аргумент находится из соотношений:
$\cos \phi = \frac{a}{r}$
$\sin \phi = \frac{b}{r}$

Используя эти определения, можно выразить действительную и мнимую части числа через модуль и аргумент:
$a = r \cos \phi$
$b = r \sin \phi$

Подставляя эти выражения в алгебраическую форму $z = a + bi$, получаем:
$z = r \cos \phi + i(r \sin \phi)$
Вынеся $r$ за скобки, мы приходим к искомой тригонометрической форме.

Ответ: Комплексные числа в тригонометрической форме записываются по формуле: $z = r(\cos \phi + i\sin \phi)$, где $r$ — модуль комплексного числа, а $\phi$ — его аргумент.

14. Как перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме?

Для перехода от алгебраической формы комплексного числа $z = a + bi$ к тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ необходимо найти модуль $r$ и аргумент $\varphi$ этого числа.

Шаг 1: Нахождение модуля $r$

Модуль комплексного числа $r$, обозначаемый также $|z|$, представляет собой расстояние от начала координат до точки $(a, b)$ на комплексной плоскости. Он вычисляется по формуле, основанной на теореме Пифагора, и всегда является неотрицательным действительным числом.

Формула для нахождения модуля:
$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Шаг 2: Нахождение аргумента $\varphi$

Аргумент $\varphi$, обозначаемый $\arg(z)$, — это угол между положительным направлением действительной оси (оси Ox) и вектором, идущим из начала координат в точку $(a, b)$. Аргумент определяется из системы уравнений:

$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Для однозначного определения угла $\varphi$ (обычно в пределах от $0$ до $2\pi$ или от $-\pi$ до $\pi$) необходимо учитывать знаки действительной части $a$ и мнимой части $b$, которые указывают на четверть, в которой находится число на комплексной плоскости.

Также можно использовать функцию арктангенса $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ (при $a \neq 0$), но с необходимой коррекцией в зависимости от четверти:

• Если $a > 0, b \ge 0$ (I четверть), то $\varphi = \arctan(\frac{b}{a})$.
• Если $a < 0, b \ge 0$ (II четверть), то $\varphi = \pi + \arctan(\frac{b}{a})$.
• Если $a < 0, b < 0$ (III четверть), то $\varphi = \pi + \arctan(\frac{b}{a})$ (для интервала $[0, 2\pi)$) или $\varphi = -\pi + \arctan(\frac{b}{a})$ (для интервала $(-\pi, \pi]$).
• Если $a > 0, b < 0$ (IV четверть), то $\varphi = \arctan(\frac{b}{a})$.

Особые случаи для чисел, лежащих на осях:

• Если $a > 0, b = 0$, то $\varphi = 0$.
• Если $a < 0, b = 0$, то $\varphi = \pi$.
• Если $a = 0, b > 0$, то $\varphi = \frac{\pi}{2}$.
• Если $a = 0, b < 0$, то $\varphi = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).
• Если $a = 0, b = 0$, то $r=0$, а аргумент не определен.

Шаг 3: Запись числа в тригонометрической форме

Найденные значения модуля $r$ и аргумента $\varphi$ подставляются в стандартный вид тригонометрической формы комплексного числа:

$z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$

Пример

Переведем комплексное число $z = -1 - i\sqrt{3}$ из алгебраической формы в тригонометрическую.

В данном случае, действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = -\sqrt{3}$.

1. Находим модуль $r$:

$r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

2. Находим аргумент $\varphi$:

Вычислим косинус и синус угла:

$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{-1}{2}$

$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

Так как и косинус, и синус отрицательны, точка лежит в III четверти. Угол, удовлетворяющий этим условиям, равен $\varphi = \frac{4\pi}{3}$ (или $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$, если брать главный аргумент в интервале $(-\pi, \pi]$).

3. Записываем число в тригонометрической форме:

$z = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))$

Ответ: Для перехода от алгебраической формы комплексного числа $z = a + bi$ к тригонометрической $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ необходимо: 1. Вычислить модуль числа по формуле $r = \sqrt{a^2 + b^2}$. 2. Найти аргумент $\varphi$, решив систему уравнений $\cos\varphi = a/r$ и $\sin\varphi = b/r$, и правильно определив четверть по знакам $a$ и $b$. 3. Подставить найденные значения $r$ и $\varphi$ в тригонометрическую форму записи.