Номер 684, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 684, страница 254.

Условие.

684. Пользуясь записью комплексных чисел в тригонометрической форме, найти $ \cos 15^\circ $ и $ \sin 15^\circ $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения значений $\cos 15^\circ$ и $\sin 15^\circ$ с помощью комплексных чисел, представим угол $15^\circ$ как разность двух известных углов, например, $45^\circ$ и $30^\circ$ ($15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$).

Рассмотрим два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической форме с аргументами $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно и модулями, равными 1 для простоты:

$z_1 = \cos 45^\circ + i\sin 45^\circ$

$z_2 = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ$

При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)}{r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$

В нашем случае $r_1=1$ и $r_2=1$. Тогда частное $z = \frac{z_1}{z_2}$ будет иметь модуль $\frac{1}{1} = 1$ и аргумент $\varphi = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$. Таким образом,

$z = \cos 15^\circ + i\sin 15^\circ$

Теперь найдем это же частное $z$, используя алгебраическую форму чисел $z_1$ и $z_2$. Значения синусов и косинусов для углов $45^\circ$ и $30^\circ$ известны:

$z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

$z_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

Выполним деление:

$z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}}$

Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$:

$z = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2})}{(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2})}$

Вычислим числитель:

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - i^2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} - i\frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + i(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Вычислим знаменатель:

$(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (i\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} - i^2\frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

Таким образом, частное в алгебраической форме равно:

$z = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Теперь приравняем два выражения для $z$ (тригонометрическое и алгебраическое):

$\cos 15^\circ + i\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Отсюда получаем:

Действительная часть: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Мнимая часть: $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.