Номер 679, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 679, страница 253.

Условие.

679. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1) $z = (\text{tg } 2 - i)^4$;

2) $z = \left(\sin \frac{6\pi}{5} + i \left(1 + \cos \frac{6\pi}{5}\right)\right)^5$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Запишем комплексное число $z = (\text{tg} 2 - i)^4$ в тригонометрической форме. Сначала представим в тригонометрической форме основание степени $w = \text{tg} 2 - i$.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r$ – модуль, а $\varphi$ – аргумент.

Найдем модуль числа $w$:

$r = |w| = \sqrt{(\text{tg} 2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\text{tg}^2 2 + 1}$.

Используя тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, получаем:

$r = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 2}} = \frac{1}{|\cos 2|}$.

Угол 2 радиана находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому $\cos 2 < 0$ и $|\cos 2| = -\cos 2$.

Следовательно, модуль $r = \frac{1}{-\cos 2}$.

Теперь найдем аргумент $\varphi = \arg(w)$. Действительная часть $x = \text{tg} 2 < 0$ (тангенс во второй четверти отрицателен), мнимая часть $y = -1 < 0$. Значит, число $w$ находится в третьей четверти комплексной плоскости.

$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{\text{tg} 2}{1/(-\cos 2)} = \text{tg} 2 \cdot (-\cos 2) = -\frac{\sin 2}{\cos 2} \cos 2 = -\sin 2$.

$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{1/(-\cos 2)} = \cos 2$.

Нам нужно найти угол $\varphi$, для которого $\cos \varphi = -\sin 2$ и $\sin \varphi = \cos 2$. Используя формулы приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin \alpha$ и $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha$, при $\alpha=2$ получаем, что $\varphi = 2 + \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа $w$:

$w = \frac{1}{-\cos 2} \left(\cos\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Теперь возведем $w$ в 4-ю степень, используя формулу Муавра $[r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$:

$z = w^4 = \left(\frac{1}{-\cos 2}\right)^4 \left(\cos\left(4\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)\right) + i \sin\left(4\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)$.

Модуль числа $z$ равен $|z| = \frac{1}{\cos^4 2}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = 4\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) = 8 + 2\pi$. Так как тригонометрические функции имеют период $2\pi$, аргумент можно взять равным 8.

В итоге получаем:

$z = \frac{1}{\cos^4 2}(\cos 8 + i \sin 8)$.

Ответ: $z = \frac{1}{\cos^4 2}(\cos 8 + i \sin 8)$.

2)

Запишем комплексное число $z = \left(\sin\frac{6\pi}{5} + i\left(1 + \cos\frac{6\pi}{5}\right)\right)^5$ в тригонометрической форме. Обозначим основание степени как $w = \sin\frac{6\pi}{5} + i\left(1 + \cos\frac{6\pi}{5}\right)$.

Применим формулы двойного угла (или половинного, если смотреть наоборот): $\sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$ и $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2(\alpha/2)$. Пусть $\alpha = \frac{6\pi}{5}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{3\pi}{5}$.

$w = \left(2 \sin\frac{3\pi}{5} \cos\frac{3\pi}{5}\right) + i\left(2 \cos^2\frac{3\pi}{5}\right)$.

Вынесем общий множитель $2 \cos\frac{3\pi}{5}$:

$w = 2 \cos\frac{3\pi}{5} \left(\sin\frac{3\pi}{5} + i \cos\frac{3\pi}{5}\right)$.

Для нахождения модуля и аргумента $w$ определим знак $2\cos\frac{3\pi}{5}$. Угол $\frac{3\pi}{5}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi$), где косинус отрицателен. Значит, $2 \cos\frac{3\pi}{5} < 0$.

Модуль числа $w$ равен $|w| = \sqrt{(\sin\frac{6\pi}{5})^2 + (1 + \cos\frac{6\pi}{5})^2} = \sqrt{\sin^2\frac{6\pi}{5} + 1 + 2\cos\frac{6\pi}{5} + \cos^2\frac{6\pi}{5}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{6\pi}{5}} = \sqrt{4\cos^2\frac{3\pi}{5}} = 2\left|\cos\frac{3\pi}{5}\right| = -2\cos\frac{3\pi}{5}$.

Найдем аргумент $\varphi = \arg(w)$.

$\cos \varphi = \frac{\text{Re}(w)}{|w|} = \frac{\sin(6\pi/5)}{-2\cos(3\pi/5)} = \frac{2\sin(3\pi/5)\cos(3\pi/5)}{-2\cos(3\pi/5)} = -\sin\frac{3\pi}{5}$.

$\sin \varphi = \frac{\text{Im}(w)}{|w|} = \frac{1+\cos(6\pi/5)}{-2\cos(3\pi/5)} = \frac{2\cos^2(3\pi/5)}{-2\cos(3\pi/5)} = -\cos\frac{3\pi}{5}$.

Используя формулы приведения, $\sin\frac{3\pi}{5} = \sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{10}) = \cos\frac{\pi}{10}$ и $\cos\frac{3\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{10}) = -\sin\frac{\pi}{10}$.

Тогда $\cos\varphi = -\cos\frac{\pi}{10}$ и $\sin\varphi = -(-\sin\frac{\pi}{10}) = \sin\frac{\pi}{10}$.

Такая система уравнений соответствует углу во второй четверти: $\varphi = \pi - \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$.

Тригонометрическая форма $w$:

$w = -2\cos\frac{3\pi}{5}\left(\cos\frac{9\pi}{10} + i\sin\frac{9\pi}{10}\right)$.

Теперь возведем $w$ в 5-ю степень по формуле Муавра:

$z = w^5 = \left(-2\cos\frac{3\pi}{5}\right)^5 \left(\cos\left(5 \cdot \frac{9\pi}{10}\right) + i\sin\left(5 \cdot \frac{9\pi}{10}\right)\right)$.

Модуль $|z| = \left(-2\cos\frac{3\pi}{5}\right)^5 = -32\cos^5\frac{3\pi}{5}$.

Аргумент $\arg(z) = 5 \cdot \frac{9\pi}{10} = \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Аргумент можно взять равным $\frac{\pi}{2}$.

Итоговая тригонометрическая форма для $z$:

$z = -32\cos^5\frac{3\pi}{5} \left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$.

Ответ: $z = -32\cos^5\frac{3\pi}{5}\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$.