Номер 683, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 683, страница 254.

Условие.

683. Доказать, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ справедливо равенство:

1) $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \overline{z_2}$;

2) $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}, z_2 \neq 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства представим комплексные числа $z_1$ и $z_2$ в алгебраической форме: $z_1 = a_1 + i b_1$ и $z_2 = a_2 + i b_2$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Тогда их комплексно-сопряженные числа равны $\bar{z_1} = a_1 - i b_1$ и $\bar{z_2} = a_2 - i b_2$.

1)

Докажем равенство $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2}$.

Сначала найдем левую часть равенства. Вычислим произведение $z_1 z_2$: $z_1 z_2 = (a_1 + i b_1)(a_2 + i b_2) = a_1 a_2 + i a_1 b_2 + i b_1 a_2 + i^2 b_1 b_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1)$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное число к этому произведению: $\overline{z_1 z_2} = \overline{(a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1)} = (a_1 a_2 - b_1 b_2) - i(a_1 b_2 + a_2 b_1)$.

Далее найдем правую часть равенства. Вычислим произведение сопряженных чисел $\bar{z_1} \bar{z_2}$: $\bar{z_1} \bar{z_2} = (a_1 - i b_1)(a_2 - i b_2) = a_1 a_2 - i a_1 b_2 - i b_1 a_2 + i^2 b_1 b_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) - i(a_1 b_2 + a_2 b_1)$.

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они равны. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.

2)

Докажем равенство $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$ при $z_2 \neq 0$.

Обозначим частное $w = \frac{z_1}{z_2}$. Отсюда следует, что $z_1 = w \cdot z_2$.

Возьмем комплексно-сопряженное от обеих частей равенства $z_1 = w z_2$: $\bar{z_1} = \overline{w z_2}$.

Используя свойство сопряжения произведения, доказанное в пункте 1), получаем: $\bar{z_1} = \bar{w} \cdot \bar{z_2}$.

Выразим из этого равенства $\bar{w}$. Так как по условию $z_2 \neq 0$, то и $\bar{z_2} \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части на $\bar{z_2}$: $\bar{w} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$.

Теперь подставим обратно $w = \frac{z_1}{z_2}$: $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.