Номер 682, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 682, страница 254.

Условие.

682. Найти множество точек $z$ комплексной плоскости, заданное условием:

1) один из аргументов числа $z$ равен нулю;

2) один из аргументов числа $z$ равен $\frac{5\pi}{2}$;

3) один из аргументов числа $z$ удовлетворяет неравенствам $2\pi < \varphi < 3\pi$;

4) один из аргументов числа $z$ удовлетворяет неравенствам $0 \leq \varphi < 2\pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Комплексное число $z$ в тригонометрической форме записывается как $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — модуль числа (расстояние от начала координат), а $\varphi = \arg z$ — его аргумент (угол, который вектор, проведенный из начала координат к точке $z$, образует с положительным направлением действительной оси). Аргумент определяется для любого ненулевого комплексного числа ($z \ne 0$) и является многозначной величиной: если $\varphi$ — один из аргументов, то все остальные имеют вид $\varphi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

1) один из аргументов числа z равен нулю;

Условие означает, что один из аргументов числа $z$, обозначим его $\varphi$, равен 0. Подставим это значение в тригонометрическую форму комплексного числа: $z = r(\cos 0 + i \sin 0) = r(1 + i \cdot 0) = r$. Поскольку аргумент определен только для ненулевых чисел, то $z \ne 0$, а значит, модуль $r = |z| > 0$. Таким образом, $z$ является положительным действительным числом. На комплексной плоскости множество таких чисел представляет собой открытый луч, исходящий из начала координат и совпадающий с положительной полуосью действительных чисел (осью Ox).

Ответ: Множество точек $z$ — это открытый луч, выходящий из начала координат вдоль положительного направления действительной оси (положительная полуось Ox, не включая точку 0).

2) один из аргументов числа z равен $\frac{5\pi}{2}$;

Условие гласит, что один из аргументов $\varphi$ равен $\frac{5\pi}{2}$. Мы можем найти главный аргумент, приведя это значение к стандартному диапазону, например $[0, 2\pi)$, вычитанием $2\pi$: $\varphi' = \frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi - 4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. Подставим это значение в тригонометрическую форму: $z = r(\cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2})) = r(0 + i \cdot 1) = ri$. Так как $z \ne 0$, модуль $r = |z| > 0$. Числа вида $ri$, где $r > 0$, являются чисто мнимыми с положительной мнимой частью. На комплексной плоскости они образуют открытый луч, исходящий из начала координат и совпадающий с положительной полуосью мнимых чисел (осью Oy).

Ответ: Множество точек $z$ — это открытый луч, выходящий из начала координат вдоль положительного направления мнимой оси (положительная полуось Oy, не включая точку 0).

3) один из аргументов числа z удовлетворяет неравенствам $2\pi < \varphi < 3\pi$;

Пусть $\varphi$ — один из аргументов числа $z$, удовлетворяющий условию $2\pi < \varphi < 3\pi$. Любой другой аргумент этого же числа $z$ можно записать как $\varphi' = \varphi - 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Выберем $k=1$. Тогда для нового аргумента $\varphi'$ получаем неравенство: $2\pi - 2\pi < \varphi - 2\pi < 3\pi - 2\pi$ $0 < \varphi' < \pi$. Это означает, что искомое множество точек — это все такие точки $z$, для которых хотя бы один из аргументов лежит в интервале $(0, \pi)$. Углы в этом диапазоне соответствуют точкам, расположенным в верхней полуплоскости. Неравенство строгое, поэтому точки на границе (на действительной оси, где аргумент равен 0 или $\pi$) не включаются.

Ответ: Множество точек $z$ — это верхняя полуплоскость, не включая действительную ось (то есть все точки $z=x+iy$, для которых $y > 0$).

4) один из аргументов числа z удовлетворяет неравенствам $0 \le \varphi < 2\pi$.

Для любого ненулевого комплексного числа $z$ существует единственный аргумент $\varphi$, который удовлетворяет неравенству $0 \le \varphi < 2\pi$. Этот аргумент часто называют главным значением аргумента. Условие того, что "один из аргументов" попадает в этот промежуток, выполняется для абсолютно любого комплексного числа, у которого в принципе существует аргумент. Аргумент не определен только для одного числа — нуля ($z=0$), так как для него нельзя однозначно определить угол. Следовательно, данному условию удовлетворяют все точки комплексной плоскости, кроме начала координат.

Ответ: Множество точек $z$ — это вся комплексная плоскость, за исключением точки $z=0$.