Номер 678, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Упражнения к главе VII - номер 678, страница 253.

Условие.

678. Решить уравнение:

1) $z^2 = -16i$;

2) $z^2 = 8 + 6i$;

3) $z^3 = -125$;

4) $z^4 = 16i$;

5) $z^3 - 1 = i$;

6) $z^5 - 1 - i\sqrt{3} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z^2 = -16i$

Для решения уравнения представим комплексное число $-16i$ в тригонометрической форме.
Модуль числа $r = |-16i| = \sqrt{0^2 + (-16)^2} = 16$.
Аргумент $\phi$ находим из условий $\cos\phi = 0$ и $\sin\phi = -1$. Отсюда $\phi = -\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, $-16i = 16(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.
Корни уравнения $z^2 = w$ находятся по формуле Муавра для корней n-й степени:
$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.
В нашем случае $n=2$, $r=16$, $\phi = -\frac{\pi}{2}$.
$z_k = \sqrt{16} \left( \cos\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} \right)$, для $k = 0, 1$.

При $k=0$:
$z_0 = 4 \left( \cos\frac{-\pi/2}{2} + i\sin\frac{-\pi/2}{2} \right) = 4 \left( \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) \right) = 4 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$.

При $k=1$:
$z_1 = 4 \left( \cos\frac{-\pi/2 + 2\pi}{2} + i\sin\frac{-\pi/2 + 2\pi}{2} \right) = 4 \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = 4 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$.

Ответ: $z_1 = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$, $z_2 = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$.

2) $z^2 = 8 + 6i$

Представим $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$. Тогда $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
1) $x^2 - y^2 = 8$
2) $2xy = 6 \implies xy = 3$
Также, $|z^2| = |z|^2 = x^2 + y^2$. Модуль $|8 + 6i| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
Получаем третье уравнение:
3) $x^2 + y^2 = 10$
Сложим уравнения (1) и (3):
$(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 8 + 10 \implies 2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Вычтем уравнение (1) из (3):
$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 10 - 8 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
Из уравнения (2) $xy=3$ следует, что $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.
Если $x=3$, то $y=1$. Получаем корень $z_1 = 3 + i$.
Если $x=-3$, то $y=-1$. Получаем корень $z_2 = -3 - i$.

Ответ: $z_1 = 3 + i$, $z_2 = -3 - i$.

3) $z^3 = -125$

Представим число $-125$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |-125| = 125$.
Аргумент $\phi$ находим из $\cos\phi = -1$, $\sin\phi = 0$. Отсюда $\phi = \pi$.
$-125 = 125(\cos\pi + i\sin\pi)$.
Используем формулу Муавра для корней $n=3$-й степени:
$z_k = \sqrt[3]{125} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{3} \right)$, для $k=0, 1, 2$.

При $k=0$:
$z_0 = 5 \left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) = 5 \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5}{2} + i\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

При $k=1$:
$z_1 = 5 \left( \cos\frac{\pi + 2\pi}{3} + i\sin\frac{\pi + 2\pi}{3} \right) = 5(\cos\pi + i\sin\pi) = 5(-1) = -5$.

При $k=2$:
$z_2 = 5 \left( \cos\frac{\pi + 4\pi}{3} + i\sin\frac{\pi + 4\pi}{3} \right) = 5 \left( \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} \right) = 5 \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5}{2} - i\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $z_1 = -5$, $z_2 = \frac{5}{2} + i\frac{5\sqrt{3}}{2}$, $z_3 = \frac{5}{2} - i\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

4) $z^4 = 16i$

Представим число $16i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |16i| = 16$.
Аргумент $\phi$ находим из $\cos\phi = 0$, $\sin\phi = 1$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{2}$.
$16i = 16(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.
Используем формулу Муавра для корней $n=4$-й степени:
$z_k = \sqrt[4]{16} \left( \cos\frac{\pi/2 + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{\pi/2 + 2\pi k}{4} \right) = 2 \left( \cos\frac{\pi(1 + 4k)}{8} + i\sin\frac{\pi(1 + 4k)}{8} \right)$, для $k = 0, 1, 2, 3$.

При $k=0$: $z_0 = 2 \left( \cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \right)$.
Используя формулы половинного угла: $\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.
$z_0 = 2 \left( \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right) = \sqrt{2+\sqrt{2}} + i\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

При $k=1$: $z_1 = 2 \left( \cos\frac{5\pi}{8} + i\sin\frac{5\pi}{8} \right)$.
$\cos\frac{5\pi}{8} = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$, $\sin\frac{5\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.
$z_1 = 2 \left( -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \right) = -\sqrt{2-\sqrt{2}} + i\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

При $k=2$: $z_2 = 2 \left( \cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8} \right) = -z_0 = -\sqrt{2+\sqrt{2}} - i\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

При $k=3$: $z_3 = 2 \left( \cos\frac{13\pi}{8} + i\sin\frac{13\pi}{8} \right) = -z_1 = \sqrt{2-\sqrt{2}} - i\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

Ответ: $z = \pm(\sqrt{2+\sqrt{2}} + i\sqrt{2-\sqrt{2}})$, $z = \pm(-\sqrt{2-\sqrt{2}} + i\sqrt{2+\sqrt{2}})$.

5) $z^3 - 1 = i$

Перепишем уравнение как $z^3 = 1+i$.
Представим число $1+i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Аргумент $\phi$ находим из $\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{4}$.
$1+i = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$.
Используем формулу Муавра для корней $n=3$-й степени:
$z_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}} \left( \cos\frac{\pi/4 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi/4 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi(1 + 8k)}{12} + i\sin\frac{\pi(1 + 8k)}{12} \right)$, для $k = 0, 1, 2$.

При $k=0$: $z_0 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right)$.

При $k=1$: $z_1 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{9\pi}{12} + i\sin\frac{9\pi}{12} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt[6]{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2^{1/6} \cdot 2^{1/2} \cdot \frac{-1+i}{2} = 2^{1/6+1/2-1}(-1+i) = 2^{-1/3}(-1+i) = \frac{-1+i}{\sqrt[3]{2}}$.

При $k=2$: $z_2 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{17\pi}{12} + i\sin\frac{17\pi}{12} \right)$.

Ответ: $z_0 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right)$, $z_1 = \frac{-1+i}{\sqrt[3]{2}}$, $z_2 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{17\pi}{12} + i\sin\frac{17\pi}{12} \right)$.

6) $z^5 - 1 - i\sqrt{3} = 0$

Перепишем уравнение как $z^5 = 1+i\sqrt{3}$.
Представим число $1+i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.
Аргумент $\phi$ находим из $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$1+i\sqrt{3} = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.
Используем формулу Муавра для корней $n=5$-й степени:
$z_k = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{\pi/3 + 2\pi k}{5} + i\sin\frac{\pi/3 + 2\pi k}{5} \right) = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{\pi(1 + 6k)}{15} + i\sin\frac{\pi(1 + 6k)}{15} \right)$, для $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Корни уравнения:
$k=0: z_0 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{\pi}{15} + i\sin\frac{\pi}{15} \right)$
$k=1: z_1 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{7\pi}{15} + i\sin\frac{7\pi}{15} \right)$
$k=2: z_2 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{13\pi}{15} + i\sin\frac{13\pi}{15} \right)$
$k=3: z_3 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{19\pi}{15} + i\sin\frac{19\pi}{15} \right)$
$k=4: z_4 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{25\pi}{15} + i\sin\frac{25\pi}{15} \right) = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} \right) = \sqrt[5]{2} \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

Ответ: $z_k = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{\pi(1 + 6k)}{15} + i\sin\frac{\pi(1 + 6k)}{15} \right)$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$.