Номер 674, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 674, страница 253.

Условие.

674. Вычислить:

1) $(3(\cos \frac{7\pi}{8} + i\sin \frac{7\pi}{8}))^4;$

2) $(\cos 20^{\circ} + i\sin 20^{\circ})^{12};$

3) $(2(\cos (-20^{\circ}) + i\sin (-20^{\circ})))^3;$

4) $\frac{1}{(\cos \frac{\pi}{20} + i\sin \frac{\pi}{20})^5}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения используется формула Муавра для возведения комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, в степень: $ [r(\cos \phi + i \sin \phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi)) $. В данном случае модуль комплексного числа $r=3$, аргумент $\phi = \frac{7\pi}{8}$ и показатель степени $n=4$. Подставляем эти значения в формулу: $ (3(\cos \frac{7\pi}{8} + i\sin \frac{7\pi}{8}))^4 = 3^4(\cos(4 \cdot \frac{7\pi}{8}) + i\sin(4 \cdot \frac{7\pi}{8})) = 81(\cos \frac{28\pi}{8} + i\sin \frac{28\pi}{8}) = 81(\cos \frac{7\pi}{2} + i\sin \frac{7\pi}{2}) $. Теперь вычислим значения косинуса и синуса для полученного аргумента: $ \cos \frac{7\pi}{2} = \cos(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos \frac{3\pi}{2} = 0 $. $ \sin \frac{7\pi}{2} = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1 $. Подставляем эти значения в выражение: $ 81(0 + i(-1)) = -81i $. Ответ: $-81i$.

2) Используем формулу Муавра: $ (\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos(n\phi) + i \sin(n\phi) $. В этом примере модуль $r=1$, аргумент $\phi = 20^\circ$ и показатель степени $n=12$. $ (\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ)^{12} = \cos(12 \cdot 20^\circ) + i\sin(12 \cdot 20^\circ) = \cos(240^\circ) + i\sin(240^\circ) $. Угол $240^\circ$ находится в третьей координатной четверти. Вычислим значения косинуса и синуса, используя формулы приведения: $ \cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} $. $ \sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. В результате получаем комплексное число в алгебраической форме: $ -\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $. Ответ: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Снова применяем формулу Муавра $ [r(\cos \phi + i \sin \phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi)) $. Здесь $r=2$, $\phi = -20^\circ$ и $n=3$. $ (2(\cos(-20^\circ) + i\sin(-20^\circ)))^3 = 2^3(\cos(3 \cdot (-20^\circ)) + i\sin(3 \cdot (-20^\circ))) = 8(\cos(-60^\circ) + i\sin(-60^\circ)) $. Используя свойства четности косинуса ($ \cos(-x) = \cos(x) $) и нечетности синуса ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), находим: $ \cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $. $ \sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставляем вычисленные значения: $ 8(\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = 8(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 - 4i\sqrt{3} $. Ответ: $4 - 4i\sqrt{3}$.

4) Данное выражение можно представить в виде степени с отрицательным показателем: $ \frac{1}{(\cos\frac{\pi}{20} + i\sin\frac{\pi}{20})^5} = (\cos\frac{\pi}{20} + i\sin\frac{\pi}{20})^{-5} $. Теперь применим формулу Муавра для $n=-5$: $ (\cos\frac{\pi}{20} + i\sin\frac{\pi}{20})^{-5} = \cos(-5 \cdot \frac{\pi}{20}) + i\sin(-5 \cdot \frac{\pi}{20}) = \cos(-\frac{5\pi}{20}) + i\sin(-\frac{5\pi}{20}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) $. Вычислим значения, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $ \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, итоговое выражение равно: $ \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} $. Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.