Номер 672, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 672, страница 252.

Условие.

672. Определить, при каких действительных значениях $x$ и $y$ сумма $\frac{x-1}{3+i} + \frac{y-1}{3-i}$ равна $i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти действительные значения $x$ и $y$, при которых выполняется данное равенство, мы должны преобразовать левую часть уравнения так, чтобы можно было выделить действительную и мнимую части.

Исходное уравнение:

$ \frac{x-1}{3+i} + \frac{y-1}{3-i} = i $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей, которые являются комплексно-сопряженными числами:

$ (3+i)(3-i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10 $

Теперь выполним сложение дробей:

$ \frac{(x-1)(3-i) + (y-1)(3+i)}{10} = i $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3(x-1) - i(x-1) + 3(y-1) + i(y-1)}{10} = i $

Сгруппируем в числителе действительные и мнимые слагаемые:

$ \frac{[3(x-1) + 3(y-1)] + i[-(x-1) + (y-1)]}{10} = i $

$ \frac{(3x - 3 + 3y - 3) + i(-x + 1 + y - 1)}{10} = i $

$ \frac{(3x + 3y - 6) + i(y - x)}{10} = i $

Разделим выражение в левой части на действительную и мнимую части:

$ \frac{3x + 3y - 6}{10} + i \frac{y - x}{10} = 0 + 1 \cdot i $

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравниваем соответственно действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения.

Равенство действительных частей:

$ \frac{3x + 3y - 6}{10} = 0 \implies 3x + 3y - 6 = 0 \implies x + y = 2 $

Равенство мнимых частей:

$ \frac{y - x}{10} = 1 \implies y - x = 10 $

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 2 \\ y - x = 10 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $x$:

$ (x + y) + (y - x) = 2 + 10 $

$ 2y = 12 $

$ y = 6 $

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение ($x + y = 2$):

$ x + 6 = 2 $

$ x = 2 - 6 $

$ x = -4 $

Таким образом, действительные значения, удовлетворяющие условию, это $x = -4$ и $y = 6$.

Ответ: $x = -4, y = 6$.