Номер 665, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 665, страница 252.

Условие.

665. Решить уравнение:

1) $(5 + 3i) + z = -4 - i;$

2) $(-2 + i) + z = 3 - 2i;$

3) $5 + i = z - (3 - \sqrt{2})i;$

4) $(i - z)(1 + 2i) + (1 - iz)(3 - 4i) = 1 + 7i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано уравнение $(5 + 3i) + z = -4 - i$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $z$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Перенесем $(5 + 3i)$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$z = (-4 - i) - (5 + 3i)$
Раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее:
$z = -4 - i - 5 - 3i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$z = (-4 - 5) + (-i - 3i)$
Выполним сложение:
$z = -9 - 4i$
Ответ: $z = -9 - 4i$

2) Дано уравнение $(-2 + i) + z = 3 - 2i$.
Выразим $z$, перенеся $(-2 + i)$ в правую часть:
$z = (3 - 2i) - (-2 + i)$
Раскроем скобки:
$z = 3 - 2i + 2 - i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$z = (3 + 2) + (-2i - i)$
Выполним вычисления:
$z = 5 - 3i$
Ответ: $z = 5 - 3i$

3) Дано уравнение $5 + i = z - (3 - \sqrt{2}i)$.
Чтобы найти уменьшаемое $z$, нужно к разности прибавить вычитаемое. Перенесем $-(3 - \sqrt{2}i)$ в левую часть с противоположным знаком:
$z = (5 + i) + (3 - \sqrt{2}i)$
Раскроем скобки:
$z = 5 + i + 3 - \sqrt{2}i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$z = (5 + 3) + (i - \sqrt{2}i)$
Вынесем $i$ за скобки в мнимой части:
$z = 8 + (1 - \sqrt{2})i$
Ответ: $z = 8 + (1 - \sqrt{2})i$

4) Дано уравнение $(i - z)(1 + 2i) + (1 - iz)(3 - 4i) = 1 + 7i$.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Вспомним, что $i^2 = -1$.
Первое произведение: $(i - z)(1 + 2i) = i \cdot 1 + i \cdot 2i - z \cdot 1 - z \cdot 2i = i + 2i^2 - z - 2iz = i - 2 - z - 2iz$.
Второе произведение: $(1 - iz)(3 - 4i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-4i) - iz \cdot 3 - iz \cdot (-4i) = 3 - 4i - 3iz + 4i^2z = 3 - 4i - 3iz - 4z$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(i - 2 - z - 2iz) + (3 - 4i - 3iz - 4z) = 1 + 7i$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Сгруппируем слагаемые, содержащие $z$, и свободные члены:
$(-z - 4z) + (-2iz - 3iz) + (-2 + 3) + (i - 4i) = 1 + 7i$
$-5z - 5iz + 1 - 3i = 1 + 7i$
Перенесем свободные члены $(1 - 3i)$ из левой части в правую:
$-5z - 5iz = (1 + 7i) - (1 - 3i)$
$-5z - 5iz = 1 + 7i - 1 + 3i$
$-5z - 5iz = 10i$
В левой части вынесем за скобки общий множитель $-5z$:
$z(-5 - 5i) = 10i$
Выразим $z$:
$z = \frac{10i}{-5 - 5i} = \frac{10i}{-5(1 + i)} = \frac{-2i}{1 + i}$
Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 - i)$:
$z = \frac{-2i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{-2i \cdot 1 - 2i \cdot (-i)}{1^2 - i^2} = \frac{-2i + 2i^2}{1 - (-1)} = \frac{-2i - 2}{2}$
Разделим числитель на знаменатель почленно:
$z = \frac{-2}{2} + \frac{-2i}{2} = -1 - i$
Ответ: $z = -1 - i$