Номер 659, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Упражнения к главе VII - номер 659, страница 251.

Условие.

Выполнить действия (659—660).

659.

1) $(2 + 3i)(3 - 2i) + (2 - 3i)(3 + 2i);$

2) $9 + 5i - (2 - 4i)(1 + 3i);$

3) $(8 - \sqrt{3}i)(8 + \sqrt{3}i);$

4) $(-1 + \sqrt{7}i)(-1 - \sqrt{7}i).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения этого примера необходимо выполнить умножение комплексных чисел в каждой паре скобок, а затем сложить полученные результаты. Вспомним, что $i^2 = -1$.

Вычислим первое произведение:

$(2 + 3i)(3 - 2i) = 2 \cdot 3 + 2(-2i) + 3i \cdot 3 + 3i(-2i) = 6 - 4i + 9i - 6i^2 = 6 + 5i - 6(-1) = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i$.

Вычислим второе произведение. Заметим, что оно является комплексно-сопряженным первому ($ \overline{(a+bi)(c+di)} = (\overline{a+bi})(\overline{c+di}) = (a-bi)(c-di) $):

$(2 - 3i)(3 + 2i) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2i - 3i \cdot 3 - 3i \cdot 2i = 6 + 4i - 9i - 6i^2 = 6 - 5i - 6(-1) = 6 - 5i + 6 = 12 - 5i$.

Теперь сложим полученные результаты. Сумма двух комплексно-сопряженных чисел $z$ и $\bar{z}$ равна удвоенной действительной части $2\text{Re}(z)$:

$(12 + 5i) + (12 - 5i) = (12 + 12) + (5i - 5i) = 24$.

Ответ: $24$

2) Сначала выполним умножение комплексных чисел, стоящих в скобках, а затем произведем вычитание из числа $9+5i$.

Найдем произведение:

$(2 - 4i)(1 + 3i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3i - 4i \cdot 1 - 4i \cdot 3i = 2 + 6i - 4i - 12i^2$.

Подставим $i^2 = -1$ и упростим:

$2 + 2i - 12(-1) = 2 + 2i + 12 = 14 + 2i$.

Теперь выполним вычитание:

$9 + 5i - (14 + 2i) = 9 + 5i - 14 - 2i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(9 - 14) + (5 - 2)i = -5 + 3i$.

Ответ: $-5 + 3i$

3) Данное выражение является произведением двух комплексно-сопряженных чисел вида $(a - bi)(a + bi)$, которое вычисляется по формуле $a^2 + b^2$.

В данном случае $a = 8$ и $b = \sqrt{3}$.

Применим формулу:

$(8 - \sqrt{3}i)(8 + \sqrt{3}i) = 8^2 + (\sqrt{3})^2 = 64 + 3 = 67$.

Ответ: $67$

4) Этот пример также представляет собой произведение двух комплексно-сопряженных чисел вида $(a + bi)(a - bi)$, равное $a^2 + b^2$.

Здесь $a = -1$ и $b = \sqrt{7}$.

Выполним вычисление по формуле:

$(-1 + \sqrt{7}i)(-1 - \sqrt{7}i) = (-1)^2 + (\sqrt{7})^2 = 1 + 7 = 8$.

Ответ: $8$