Страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

653. Найти все значения корня:

1) $\sqrt[4]{1}$;

2) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$;

3) $\sqrt[5]{1}$;

4) $\sqrt[4]{\sqrt{3}+i}$.

1) $\sqrt[4]{1}$

Для нахождения всех значений корня n-ой степени из комплексного числа $z$ используется формула Муавра. Сначала необходимо представить подкоренное число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент. Тогда все $n$ значений корня находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

В данном случае ищем корень 4-й степени из числа 1. Представим $z=1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1| = 1$. Аргумент $\varphi = \arg(1) = 0$.

Таким образом, $z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.

Используем формулу для $n=4$:

$w_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{4} \right) = \cos \frac{\pi k}{2} + i \sin \frac{\pi k}{2}$, где $k = 0, 1, 2, 3$.

Вычислим значения корней для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1$.
• При $k=1$: $w_1 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i$.
• При $k=2$: $w_2 = \cos \pi + i \sin \pi = -1$.
• При $k=3$: $w_3 = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$.

Ответ: $1, -1, i, -i$.

2) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$

Найдем все значения корня 3-й степени из числа $-\frac{1}{27}$.

Представим число $z = -\frac{1}{27}$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-\frac{1}{27}| = \frac{1}{27}$. Аргумент $\varphi = \arg(-\frac{1}{27}) = \pi$.

Таким образом, $z = \frac{1}{27}(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Используем формулу Муавра для $n=3$:

$w_k = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{\pi(1 + 2k)}{3} + i \sin \frac{\pi(1 + 2k)}{3} \right)$, где $k = 0, 1, 2$.

Вычислим значения корней для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{6} + i\frac{\sqrt{3}}{6}$.
• При $k=1$: $w_1 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) = \frac{1}{3}(\cos \pi + i \sin \pi) = -\frac{1}{3}$.
• При $k=2$: $w_2 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{6} - i\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}, \frac{1}{6} + i\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{6} - i\frac{\sqrt{3}}{6}$.

3) $\sqrt[5]{1}$

Найдем все значения корня 5-й степени из числа 1.

Представим число $z=1$ в тригонометрической форме: $z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.

Используем формулу Муавра для $n=5$:

$w_k = \sqrt[5]{1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{5} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{5} \right) = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5}$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Значения корней для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1$.
• При $k=1$: $w_1 = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}$.
• При $k=2$: $w_2 = \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}$.
• При $k=3$: $w_3 = \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}$.
• При $k=4$: $w_4 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}$.

Ответ: все пять корней могут быть представлены формулой $w_k = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5}$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$. Это корни: $w_0=1; w_1 = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}; w_2 = \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}; w_3 = \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}; w_4 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}$.

4) $\sqrt[4]{\sqrt{3} + i}$

Найдем все значения корня 4-й степени из числа $\sqrt{3} + i$.

Представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Аргумент $\varphi$ определяется из условий $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \varphi = \frac{1}{2}$, откуда $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$.

Используем формулу Муавра для $n=4$:

$w_k = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{4} \right) = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi(1 + 12k)}{24} + i \sin \frac{\pi(1 + 12k)}{24} \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3$.

Вычислим значения корней для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24} \right)$.
• При $k=1$: $w_1 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{13\pi}{24} + i \sin \frac{13\pi}{24} \right)$.
• При $k=2$: $w_2 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{25\pi}{24} + i \sin \frac{25\pi}{24} \right)$.
• При $k=3$: $w_3 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{37\pi}{24} + i \sin \frac{37\pi}{24} \right)$.

Ответ: все четыре корня задаются формулой $w_k = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi(1 + 12k)}{24} + i \sin \frac{\pi(1 + 12k)}{24} \right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

Решить уравнение (654—655).

654. 1) $z^4 + 81 = 0;$

2) $8z^3 - 27 = 0;$

3) $z^4 = i;$

4) $z^3 = -2i;$

5) $z^3 = -2 + 2i;$

6) $z^4 - i = 1.$

1) Перепишем уравнение в виде $z^4 = -81$. Для нахождения корней необходимо представить комплексное число $-81$ в тригонометрической форме.
Модуль числа $r = |-81| = 81$.
Аргумент $\varphi = \arg(-81) = \pi$, так как число является действительным и отрицательным.
Следовательно, $-81 = 81(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.
Корни n-ой степени из комплексного числа $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ находятся по формуле Муавра:
$z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.
В нашем случае $n=4$, $r=81$, $\varphi=\pi$.
Модуль корней $\sqrt[4]{81} = 3$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
Вычисляем четыре корня для $k = 0, 1, 2, 3$:
При $k=0$: $z_0 = 3\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = 3\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) = 3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
При $k=2$: $z_2 = 3\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right) = 3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
При $k=3$: $z_3 = 3\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) = 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $z_0 = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $z_1 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $z_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $z_3 = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

2) Перепишем уравнение как $8z^3 = 27$, откуда $z^3 = \frac{27}{8}$.
Нам нужно найти кубические корни из действительного числа $\frac{27}{8}$.
Представим $\frac{27}{8}$ в тригонометрической форме: $r = \frac{27}{8}$, $\varphi = 0$.
$\frac{27}{8} = \frac{27}{8}(\cos(0) + i\sin(0))$.
Используем формулу Муавра для корней. В данном случае $n=3$, $r=\frac{27}{8}$, $\varphi=0$.
Модуль корней $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{0 + 2\pi k}{3} = \frac{2\pi k}{3}$.
Вычисляем три корня для $k = 0, 1, 2$:
При $k=0$: $z_0 = \frac{3}{2}(\cos(0) + i\sin(0)) = \frac{3}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = \frac{3}{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{4} + i\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
При $k=2$: $z_2 = \frac{3}{2}\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) = \frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{4} - i\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $z_0 = \frac{3}{2}$, $z_1 = -\frac{3}{4} + i\frac{3\sqrt{3}}{4}$, $z_2 = -\frac{3}{4} - i\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

3) Найдём корни 4-й степени из комплексного числа $i$.
Представим $i$ в тригонометрической форме: модуль $r = |i| = 1$, аргумент $\varphi = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$.
$i = 1\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.
Применяем формулу Муавра для $n=4$, $r=1$, $\varphi=\frac{\pi}{2}$.
Модуль корней $\sqrt[4]{1} = 1$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.
Вычисляем четыре корня для $k = 0, 1, 2, 3$:
$z_0 = \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
$z_1 = \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)$.
$z_2 = \cos\left(\frac{9\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{8}\right)$.
$z_3 = \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{13\pi}{8}\right)$.
Ответ: $z_k = \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

4) Найдём кубические корни из числа $-2i$.
Представим $-2i$ в тригонометрической форме: модуль $r = |-2i| = 2$, аргумент $\varphi = \arg(-2i) = -\frac{\pi}{2}$.
$-2i = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.
Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=2$, $\varphi=-\frac{\pi}{2}$.
Модуль корней $\sqrt[3]{2}$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.
Вычисляем три корня для $k = 0, 1, 2$:
При $k=0$: $z_0 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right)$.
При $k=1$: $z_1 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sqrt[3]{2}(0 + i) = i\sqrt[3]{2}$.
При $k=2$: $z_2 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) = \sqrt[3]{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right)$.
Ответ: $z_0 = \sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)$, $z_1 = i\sqrt[3]{2}$, $z_2 = -\sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$.

5) Найдём кубические корни из числа $-2+2i$.
Представим $-2+2i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-2+2i| = \sqrt{(-2)^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Для аргумента $\varphi$ имеем $\cos\varphi = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что соответствует $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.
$-2+2i = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$.
Используем формулу Муавра для $n=3$, $r=2\sqrt{2}$, $\varphi=\frac{3\pi}{4}$.
Модуль корней $\rho = \sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2^{3/2}} = \sqrt{2}$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$.
Вычисляем три корня для $k=0, 1, 2$:
При $k=0$: $z_0 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1+i$.
При $k=1$: $z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) = -\frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
При $k=2$: $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{19\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{19\pi}{12}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} - i\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2} - i\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
Ответ: $z_0 = 1+i$, $z_1 = -\frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$, $z_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} - i\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.

6) Перепишем уравнение как $z^4 = 1+i$.
Найдём корни 4-й степени из числа $1+i$.
Представим $1+i$ в тригонометрической форме: модуль $r = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Для аргумента $\varphi$ имеем $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}$, что соответствует $\varphi = \frac{\pi}{4}$.
$1+i = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$.
Применяем формулу Муавра для $n=4$, $r=\sqrt{2}$, $\varphi=\frac{\pi}{4}$.
Модуль корней $\rho = \sqrt[4]{\sqrt{2}} = \sqrt[8]{2}$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}$.
Вычисляем четыре корня для $k=0, 1, 2, 3$:
$z_0 = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{16}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{16}\right)\right)$.
$z_1 = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{16}\right)\right)$.
$z_2 = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{17\pi}{16}\right) + i\sin\left(\frac{17\pi}{16}\right)\right)$.
$z_3 = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{25\pi}{16}\right) + i\sin\left(\frac{25\pi}{16}\right)\right)$.
Ответ: $z_k = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right)\right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

655. 1) $z^2 = -16 + 8i$;

2) $36z^8 - 13z^4 + 1 = 0$;

3) $z^4 - 2z^3 + 2z^2 - 2z + 1 = 0$;

4) $z^3 + \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{2}z + 1 = 0$.

1) Требуется найти квадратные корни из комплексного числа, то есть решить уравнение $z^2 = -16 + 8i$.
Пусть $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = -16 \\ 2xy = 8 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{4}{x}$ (очевидно, $x \neq 0$). Подставим это в первое уравнение:
$x^2 - (\frac{4}{x})^2 = -16$
$x^2 - \frac{16}{x^2} = -16$
Умножим обе части на $x^2$:
$x^4 - 16 = -16x^2$
$x^4 + 16x^2 - 16 = 0$
Сделаем замену $u = x^2$. Так как $x$ - действительное число, $u \ge 0$.
$u^2 + 16u - 16 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $u$:
$u = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4(1)(-16)}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 64}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{320}}{2}$
Так как $\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$, получаем:
$u = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{2} = -8 \pm 4\sqrt{5}$
Поскольку $u = x^2 \ge 0$, мы должны выбрать решение со знаком "плюс", так как $-8 - 4\sqrt{5} < 0$.
$x^2 = -8 + 4\sqrt{5} = 4(\sqrt{5}-2)$.
Тогда $x = \pm \sqrt{4(\sqrt{5}-2)} = \pm 2\sqrt{\sqrt{5}-2}$.
Найдем соответствующие значения $y = \frac{4}{x}$:
Если $x = 2\sqrt{\sqrt{5}-2}$, то $y = \frac{4}{2\sqrt{\sqrt{5}-2}} = \frac{2}{\sqrt{\sqrt{5}-2}} = \frac{2\sqrt{\sqrt{5}+2}}{(\sqrt{\sqrt{5}-2})(\sqrt{\sqrt{5}+2})} = \frac{2\sqrt{\sqrt{5}+2}}{\sqrt{5-4}} = 2\sqrt{\sqrt{5}+2}$.
Если $x = -2\sqrt{\sqrt{5}-2}$, то $y = -2\sqrt{\sqrt{5}+2}$.
Таким образом, получаем два решения:
$z_1 = 2\sqrt{\sqrt{5}-2} + 2i\sqrt{\sqrt{5}+2}$
$z_2 = -2\sqrt{\sqrt{5}-2} - 2i\sqrt{\sqrt{5}+2}$
Ответ: $z = \pm(2\sqrt{\sqrt{5}-2} + 2i\sqrt{\sqrt{5}+2})$.

2) Дано уравнение $36z^8 - 13z^4 + 1 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно $z^4$. Сделаем замену $w = z^4$:
$36w^2 - 13w + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 169 - 144 = 25$.
$w = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 36} = \frac{13 \pm 5}{72}$
Получаем два значения для $w$:
$w_1 = \frac{13+5}{72} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$
$w_2 = \frac{13-5}{72} = \frac{8}{72} = \frac{1}{9}$
Теперь вернемся к переменной $z$, решив два уравнения:
Случай 1: $z^4 = \frac{1}{4}$.
Корни n-ой степени из числа $a$ можно найти по формуле $z_k = \sqrt[n]{|a|} (\cos(\frac{\phi+2\pi k}{n}) + i\sin(\frac{\phi+2\pi k}{n}))$.
Здесь $a = \frac{1}{4}$, $|a| = \frac{1}{4}$, аргумент $\phi = 0$.
$z = \sqrt[4]{\frac{1}{4}} (\cos(\frac{2\pi k}{4}) + i\sin(\frac{2\pi k}{4})) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi k}{2}) + i\sin(\frac{\pi k}{2}))$ для $k=0,1,2,3$.
$k=0: z_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos 0 + i\sin 0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$k=1: z_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}) = \frac{i}{\sqrt{2}}$
$k=2: z_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \pi + i\sin \pi) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$k=3: z_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}) = -\frac{i}{\sqrt{2}}$
Случай 2: $z^4 = \frac{1}{9}$.
Аналогично, $z = \sqrt[4]{\frac{1}{9}} (\cos(\frac{\pi k}{2}) + i\sin(\frac{\pi k}{2})) = \frac{1}{\sqrt{3}} (\cos(\frac{\pi k}{2}) + i\sin(\frac{\pi k}{2}))$ для $k=0,1,2,3$.
$k=0: z_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$k=1: z_5 = \frac{i}{\sqrt{3}}$
$k=2: z_6 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
$k=3: z_7 = -\frac{i}{\sqrt{3}}$
Ответ: $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, \pm\frac{i}{\sqrt{2}}, \pm\frac{1}{\sqrt{3}}, \pm\frac{i}{\sqrt{3}}$.

3) Дано уравнение $z^4 - 2z^3 + 2z^2 - 2z + 1 = 0$.
Это симметрическое (возвратное) уравнение, так как его коэффициенты, равноудаленные от концов, равны.
Так как $z=0$ не является корнем, разделим обе части на $z^2$:
$z^2 - 2z + 2 - \frac{2}{z} + \frac{1}{z^2} = 0$
Сгруппируем члены: $(z^2 + \frac{1}{z^2}) - 2(z + \frac{1}{z}) + 2 = 0$.
Сделаем замену $w = z + \frac{1}{z}$. Тогда $w^2 = z^2 + 2 + \frac{1}{z^2}$, откуда $z^2 + \frac{1}{z^2} = w^2 - 2$.
Подставим это в уравнение:
$(w^2 - 2) - 2w + 2 = 0$
$w^2 - 2w = 0$
$w(w-2) = 0$
Отсюда $w_1=0$ или $w_2=2$.
Случай 1: $w = 0$.
$z + \frac{1}{z} = 0 \implies z^2 + 1 = 0 \implies z = \pm i$.
Случай 2: $w = 2$.
$z + \frac{1}{z} = 2 \implies z^2 - 2z + 1 = 0 \implies (z-1)^2 = 0 \implies z = 1$ (корень кратности 2).
Ответ: $1, 1, i, -i$.

4) Дано уравнение $z^3 + \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{2}z + 1 = 0$.
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$2z^3 + z^2 + z + 2 = 0$
Сгруппируем члены для разложения на множители:
$(2z^3 + 2) + (z^2 + z) = 0$
$2(z^3 + 1) + z(z + 1) = 0$
Используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$2(z + 1)(z^2 - z + 1) + z(z + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(z+1)$:
$(z + 1)[2(z^2 - z + 1) + z] = 0$
$(z + 1)(2z^2 - 2z + 2 + z) = 0$
$(z + 1)(2z^2 - z + 2) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $z + 1 = 0 \implies z_1 = -1$
2) $2z^2 - z + 2 = 0$
Решим второе уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.
Корни $z = \frac{1 \pm \sqrt{-15}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{15}}{4}$.
$z_2 = \frac{1 + i\sqrt{15}}{4}$ и $z_3 = \frac{1 - i\sqrt{15}}{4}$.
Ответ: $-1, \frac{1 + i\sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i\sqrt{15}}{4}$.

656. Решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами:

1) $z^2 + (2 - 6i)z - 12 - 6i = 0;$

2) $z^2 - 2(1 + i)z + 9 + 2i = 0.$

1) $z^2 + (2 - 6i)z - 12 - 6i = 0$

Это квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где коэффициенты являются комплексными числами:

$a = 1$

$b = 2 - 6i$

$c = -12 - 6i$

Для решения используем стандартную формулу корней квадратного уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Сначала вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (2 - 6i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12 - 6i)$

$\Delta = (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 6i + (6i)^2) - (-48 - 24i)$

$\Delta = (4 - 24i + 36i^2) + 48 + 24i$

Поскольку $i^2 = -1$, получаем:

$\Delta = (4 - 24i - 36) + 48 + 24i$

$\Delta = -32 - 24i + 48 + 24i$

$\Delta = 16$

Теперь найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4$

Подставляем значения в формулу для корней:

$z_{1,2} = \frac{-(2 - 6i) \pm 4}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6i \pm 4}{2}$

Находим два корня:

$z_1 = \frac{-2 + 6i + 4}{2} = \frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i$

$z_2 = \frac{-2 + 6i - 4}{2} = \frac{-6 + 6i}{2} = -3 + 3i$

Ответ: $z_1 = 1 + 3i$, $z_2 = -3 + 3i$.

2) $z^2 - 2(1 + i)z + 9 + 2i = 0$

Это также квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$ с коэффициентами:

$a = 1$

$b = -2(1 + i) = -2 - 2i$

$c = 9 + 2i$

Используем ту же формулу для нахождения корней. Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-2(1 + i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9 + 2i)$

$\Delta = 4(1 + i)^2 - 4(9 + 2i)$

$\Delta = 4(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2) - 36 - 8i$

Зная, что $i^2 = -1$:

$\Delta = 4(1 + 2i - 1) - 36 - 8i$

$\Delta = 4(2i) - 36 - 8i$

$\Delta = 8i - 36 - 8i$

$\Delta = -36$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot (-1)} = \sqrt{36i^2} = 6i$

Подставляем значения в формулу для корней:

$z_{1,2} = \frac{-(-2(1 + i)) \pm 6i}{2 \cdot 1} = \frac{2(1 + i) \pm 6i}{2} = \frac{2 + 2i \pm 6i}{2}$

Находим два корня:

$z_1 = \frac{2 + 2i + 6i}{2} = \frac{2 + 8i}{2} = 1 + 4i$

$z_2 = \frac{2 + 2i - 6i}{2} = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$

Ответ: $z_1 = 1 + 4i$, $z_2 = 1 - 2i$.

657. Найти значения x, при которых действительная часть комплексного числа равна 1:

1) $(x + 3) + 2i;$

2) $(x + 1) - 4i;$

3) $(4x - 1) - 7i;$

4) $(-3x - 8) + i.$

Общий вид комплексного числа $z$ в алгебраической форме: $z = a + bi$, где $a$ - это действительная (вещественная) часть, обозначаемая как $Re(z)$, а $b$ - мнимая часть, обозначаемая как $Im(z)$.

По условию задачи, нам нужно найти значения $x$, при которых действительная часть $Re(z)$ каждого из данных комплексных чисел равна 1. Для этого в каждом случае мы приравняем действительную часть выражения к 1 и решим полученное уравнение.

1) Дано комплексное число $z = (x + 3) + 2i$.

Действительная часть этого числа $Re(z) = x + 3$. Приравниваем действительную часть к 1: $x + 3 = 1$ Решаем уравнение относительно $x$: $x = 1 - 3$ $x = -2$

Ответ: $x = -2$.

2) Дано комплексное число $z = (x + 1) - 4i$.

Действительная часть этого числа $Re(z) = x + 1$. Приравниваем действительную часть к 1: $x + 1 = 1$ Решаем уравнение: $x = 1 - 1$ $x = 0$

Ответ: $x = 0$.

3) Дано комплексное число $z = (4x - 1) - 7i$.

Действительная часть этого числа $Re(z) = 4x - 1$. Приравниваем действительную часть к 1: $4x - 1 = 1$ Решаем уравнение: $4x = 1 + 1$ $4x = 2$ $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

4) Дано комплексное число $z = (-3x - 8) + i$.

Действительная часть этого числа $Re(z) = -3x - 8$. Приравниваем действительную часть к 1: $-3x - 8 = 1$ Решаем уравнение: $-3x = 1 + 8$ $-3x = 9$ $x = \frac{9}{-3}$ $x = -3$

Ответ: $x = -3$.

658. Найти значения $x$, при которых действительная часть комплексного числа равна его мнимой части:

1) $(x+3)+i;$

2) $3x-8i;$

3) $0,4-(x-2)i;$

4) $-1+2xi.$

Чтобы найти значения $x$, при которых действительная часть комплексного числа равна его мнимой части, необходимо для каждого комплексного числа вида $z = a + bi$ приравнять его действительную часть $a$ и мнимую часть $b$.

1) $ (x + 3) + i $
В данном комплексном числе действительная часть равна $Re(z) = x + 3$, а мнимая часть равна $Im(z) = 1$.
Приравняем их:
$x + 3 = 1$
Решим уравнение:
$x = 1 - 3$
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.

2) $ 3x - 8i $
Действительная часть этого числа $Re(z) = 3x$.
Мнимая часть $Im(z) = -8$.
Приравниваем действительную и мнимую части:
$3x = -8$
Решаем уравнение:
$x = -\frac{8}{3}$
Ответ: $x = -\frac{8}{3}$.

3) $ 0,4 - (x - 2)i $
Действительная часть $Re(z) = 0,4$.
Мнимая часть $Im(z) = -(x - 2) = -x + 2$.
Приравниваем их:
$0,4 = -x + 2$
Решаем уравнение:
$x = 2 - 0,4$
$x = 1,6$
Ответ: $x = 1,6$.

4) $ -1 + 2xi $
Действительная часть $Re(z) = -1$.
Мнимая часть $Im(z) = 2x$.
Приравниваем действительную и мнимую части:
$-1 = 2x$
Решаем уравнение:
$x = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x = -0,5$.

Выполнить действия (659—660).

659.

1) $(2 + 3i)(3 - 2i) + (2 - 3i)(3 + 2i);$

2) $9 + 5i - (2 - 4i)(1 + 3i);$

3) $(8 - \sqrt{3}i)(8 + \sqrt{3}i);$

4) $(-1 + \sqrt{7}i)(-1 - \sqrt{7}i).$

1) Для решения этого примера необходимо выполнить умножение комплексных чисел в каждой паре скобок, а затем сложить полученные результаты. Вспомним, что $i^2 = -1$.

Вычислим первое произведение:

$(2 + 3i)(3 - 2i) = 2 \cdot 3 + 2(-2i) + 3i \cdot 3 + 3i(-2i) = 6 - 4i + 9i - 6i^2 = 6 + 5i - 6(-1) = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i$.

Вычислим второе произведение. Заметим, что оно является комплексно-сопряженным первому ($ \overline{(a+bi)(c+di)} = (\overline{a+bi})(\overline{c+di}) = (a-bi)(c-di) $):

$(2 - 3i)(3 + 2i) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2i - 3i \cdot 3 - 3i \cdot 2i = 6 + 4i - 9i - 6i^2 = 6 - 5i - 6(-1) = 6 - 5i + 6 = 12 - 5i$.

Теперь сложим полученные результаты. Сумма двух комплексно-сопряженных чисел $z$ и $\bar{z}$ равна удвоенной действительной части $2\text{Re}(z)$:

$(12 + 5i) + (12 - 5i) = (12 + 12) + (5i - 5i) = 24$.

Ответ: $24$

2) Сначала выполним умножение комплексных чисел, стоящих в скобках, а затем произведем вычитание из числа $9+5i$.

Найдем произведение:

$(2 - 4i)(1 + 3i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3i - 4i \cdot 1 - 4i \cdot 3i = 2 + 6i - 4i - 12i^2$.

Подставим $i^2 = -1$ и упростим:

$2 + 2i - 12(-1) = 2 + 2i + 12 = 14 + 2i$.

Теперь выполним вычитание:

$9 + 5i - (14 + 2i) = 9 + 5i - 14 - 2i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(9 - 14) + (5 - 2)i = -5 + 3i$.

Ответ: $-5 + 3i$

3) Данное выражение является произведением двух комплексно-сопряженных чисел вида $(a - bi)(a + bi)$, которое вычисляется по формуле $a^2 + b^2$.

В данном случае $a = 8$ и $b = \sqrt{3}$.

Применим формулу:

$(8 - \sqrt{3}i)(8 + \sqrt{3}i) = 8^2 + (\sqrt{3})^2 = 64 + 3 = 67$.

Ответ: $67$

4) Этот пример также представляет собой произведение двух комплексно-сопряженных чисел вида $(a + bi)(a - bi)$, равное $a^2 + b^2$.

Здесь $a = -1$ и $b = \sqrt{7}$.

Выполним вычисление по формуле:

$(-1 + \sqrt{7}i)(-1 - \sqrt{7}i) = (-1)^2 + (\sqrt{7})^2 = 1 + 7 = 8$.

Ответ: $8$

660. 1) $\frac{10+i^3}{-5+2i}$;

2) $\frac{4+3i}{3-4i} - \frac{5-4i}{4+5i}$;

3) $i+\frac{1+6i}{1-7i}$;

4) $\frac{5+i}{(1+i)(2-3i)}$.

1) $\frac{10+i^3}{-5+2i}$

Сначала упростим числитель. По определению мнимой единицы $i^2 = -1$, следовательно $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$. Подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{10 - i}{-5 + 2i}$

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю. Для числа $z = -5+2i$ сопряженным является $\bar{z} = -5-2i$.

$\frac{10 - i}{-5 + 2i} = \frac{(10 - i)(-5 - 2i)}{(-5 + 2i)(-5 - 2i)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(10 - i)(-5 - 2i) = 10 \cdot (-5) + 10 \cdot (-2i) - i \cdot (-5) - i \cdot (-2i) = -50 - 20i + 5i + 2i^2 = -50 - 15i + 2(-1) = -52 - 15i$

Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ или $z \cdot \bar{z} = a^2+b^2$:

$(-5 + 2i)(-5 - 2i) = (-5)^2 - (2i)^2 = 25 - 4i^2 = 25 - 4(-1) = 25 + 4 = 29$

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{-52 - 15i}{29} = -\frac{52}{29} - \frac{15}{29}i$

Ответ: $-\frac{52}{29} - \frac{15}{29}i$

2) $\frac{4+3i}{3-4i} - \frac{5-4i}{4+5i}$

Вычислим значение каждой дроби по отдельности.

Для первой дроби $\frac{4+3i}{3-4i}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $3+4i$:

$\frac{(4+3i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{12 + 16i + 9i + 12i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{12 + 25i - 12}{9 + 16} = \frac{25i}{25} = i$

Для второй дроби $\frac{5-4i}{4+5i}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $4-5i$:

$\frac{(5-4i)(4-5i)}{(4+5i)(4-5i)} = \frac{20 - 25i - 16i + 20i^2}{4^2 + 5^2} = \frac{20 - 41i - 20}{16 + 25} = \frac{-41i}{41} = -i$

Теперь выполним вычитание:

$i - (-i) = i + i = 2i$

Ответ: $2i$

3) $i + \frac{1+6i}{1-7i}$

Сначала упростим дробь $\frac{1+6i}{1-7i}$, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $1+7i$:

$\frac{(1+6i)(1+7i)}{(1-7i)(1+7i)} = \frac{1 + 7i + 6i + 42i^2}{1^2 + 7^2} = \frac{1 + 13i - 42}{1 + 49} = \frac{-41 + 13i}{50} = -\frac{41}{50} + \frac{13}{50}i$

Теперь прибавим $i$ к полученному результату:

$i + (-\frac{41}{50} + \frac{13}{50}i) = -\frac{41}{50} + (1 + \frac{13}{50})i = -\frac{41}{50} + (\frac{50}{50} + \frac{13}{50})i = -\frac{41}{50} + \frac{63}{50}i$

Ответ: $-\frac{41}{50} + \frac{63}{50}i$

4) $\frac{5+i}{(1+i)(2-3i)}$

Сначала раскроем скобки в знаменателе:

$(1+i)(2-3i) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3i + i \cdot 2 - i \cdot 3i = 2 - 3i + 2i - 3i^2 = 2 - i - 3(-1) = 2 - i + 3 = 5 - i$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{5+i}{5-i}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $5+i$:

$\frac{(5+i)(5+i)}{(5-i)(5+i)} = \frac{5^2 + 2 \cdot 5 \cdot i + i^2}{5^2 + 1^2} = \frac{25 + 10i - 1}{25 + 1} = \frac{24 + 10i}{26}$

Разделим действительную и мнимую части на 26 и сократим дроби:

$\frac{24}{26} + \frac{10}{26}i = \frac{12}{13} + \frac{5}{13}i$

Ответ: $\frac{12}{13} + \frac{5}{13}i$

661. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

1) $3(\cos 130^\circ + i \sin 130^\circ)(\cos 140^\circ + i \sin 140^\circ);$

2) $(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}) \cdot \sqrt{3} (\cos (-\frac{\pi}{12}) + i \sin (-\frac{\pi}{12}));$

3) $\frac{\cos 50^\circ + i \sin 50^\circ}{2(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)};$

4) $\frac{2(\cos (-\frac{5\pi}{12}) + i \sin (-\frac{5\pi}{12}))}{\sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi}{12}) + i \sin (-\frac{\pi}{12}))}.$

1) Для умножения двух комплексных чисел $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются: $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.
В данном примере: $3(\cos 130^\circ + i\sin 130^\circ)(\cos 140^\circ + i\sin 140^\circ)$.
Первое число: $z_1 = 3(\cos 130^\circ + i\sin 130^\circ)$, где модуль $r_1 = 3$ и аргумент $\varphi_1 = 130^\circ$.
Второе число: $z_2 = \cos 140^\circ + i\sin 140^\circ$, где модуль $r_2 = 1$ и аргумент $\varphi_2 = 140^\circ$.
Выполним умножение:
$3 \cdot 1 (\cos(130^\circ + 140^\circ) + i\sin(130^\circ + 140^\circ)) = 3(\cos 270^\circ + i\sin 270^\circ)$.
Так как $\cos 270^\circ = 0$ и $\sin 270^\circ = -1$, то результат в алгебраической форме:
$3(0 + i(-1)) = -3i$.
Ответ: $3(\cos 270^\circ + i\sin 270^\circ) = -3i$.

2) Выполним умножение $(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}) \cdot \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))$.
Первое число: $z_1 = \cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}$, где $r_1 = 1$, $\varphi_1 = \frac{5\pi}{6}$.
Второе число: $z_2 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))$, где $r_2 = \sqrt{3}$, $\varphi_2 = -\frac{\pi}{12}$.
Перемножим модули и сложим аргументы:
$r = r_1 r_2 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$.
Результат в тригонометрической форме: $\sqrt{3}(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4})$.
Так как $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то результат в алгебраической форме:
$\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\sqrt{3}(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$.

3) Для деления двух комплексных чисел $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ на $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ в тригонометрической форме их модули делятся, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$.
В данном примере: $\frac{\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ}{2(\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ)}$.
Делимое: $z_1 = \cos 50^\circ + i\sin 50^\circ$, где $r_1 = 1$, $\varphi_1 = 50^\circ$.
Делитель: $z_2 = 2(\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ)$, где $r_2 = 2$, $\varphi_2 = 20^\circ$.
Выполним деление:
$\frac{1}{2}(\cos(50^\circ - 20^\circ) + i\sin(50^\circ - 20^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ)$.
Так как $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, то результат в алгебраической форме:
$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} + i\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i$.

4) Выполним деление $\frac{2(\cos(-\frac{5\pi}{12}) + i\sin(-\frac{5\pi}{12}))}{\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))}$.
Делимое: $z_1 = 2(\cos(-\frac{5\pi}{12}) + i\sin(-\frac{5\pi}{12}))$, где $r_1 = 2$, $\varphi_1 = -\frac{5\pi}{12}$.
Делитель: $z_2 = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))$, где $r_2 = \sqrt{2}$, $\varphi_2 = -\frac{\pi}{12}$.
Разделим модули и вычтем аргументы:
$r = \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$\varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = -\frac{5\pi}{12} - (-\frac{\pi}{12}) = -\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = -\frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{3}$.
Результат в тригонометрической форме: $\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Так как $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то результат в алгебраической форме:
$\sqrt{2}(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.