Страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

662. Найти модуль комплексного числа:

1) $15i$;

2) $-21i$;

3) $-5+2i$;

4) $\sqrt{3}-i$;

5) $-1-4i$;

6) $\sqrt{11}+\sqrt{5}i$.

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ определяется как расстояние от начала координат до точки, представляющей это число на комплексной плоскости. Он вычисляется по формуле: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть комплексного числа.

1) Для комплексного числа $z = 15i$, действительная часть $a = 0$, а мнимая часть $b = 15$.
Найдем модуль по формуле:
$|15i| = \sqrt{0^2 + 15^2} = \sqrt{225} = 15$.
Ответ: 15.

2) Для комплексного числа $z = -21i$, действительная часть $a = 0$, а мнимая часть $b = -21$.
Найдем модуль по формуле:
$|-21i| = \sqrt{0^2 + (-21)^2} = \sqrt{441} = 21$.
Ответ: 21.

3) Для комплексного числа $z = -5 + 2i$, действительная часть $a = -5$, а мнимая часть $b = 2$.
Найдем модуль по формуле:
$|-5 + 2i| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$.
Ответ: $\sqrt{29}$.

4) Для комплексного числа $z = \sqrt{3} - i$, действительная часть $a = \sqrt{3}$, а мнимая часть $b = -1$.
Найдем модуль по формуле:
$|\sqrt{3} - i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

5) Для комплексного числа $z = -1 - 4i$, действительная часть $a = -1$, а мнимая часть $b = -4$.
Найдем модуль по формуле:
$|-1 - 4i| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.
Ответ: $\sqrt{17}$.

6) Для комплексного числа $z = \sqrt{11} + \sqrt{5}i$, действительная часть $a = \sqrt{11}$, а мнимая часть $b = \sqrt{5}$.
Найдем модуль по формуле:
$|\sqrt{11} + \sqrt{5}i| = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{11 + 5} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.

663. Записать в алгебраической форме комплексное число:

1) $\sqrt{3} \left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)$;

2) $4 \left(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4}\right)$.

1)

Комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где модуль $r = \sqrt{3}$ и аргумент $\phi = \frac{\pi}{6}$. Для преобразования в алгебраическую форму $z = x + iy$, необходимо найти действительную часть $x = r\cos\phi$ и мнимую часть $y = r\sin\phi$.

Сначала вычислим значения синуса и косинуса для заданного угла:
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и раскроем скобки:
$z = \sqrt{3}\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right)$
$z = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$
$z = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, мы получили комплексное число в алгебраической форме.
Ответ: $z = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

2)

Комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где модуль $r = 4$ и аргумент $\phi = \frac{5\pi}{4}$. Для преобразования в алгебраическую форму $z = x + iy$, найдем $x = r\cos\phi$ и $y = r\sin\phi$.

Сначала вычислим значения синуса и косинуса для угла $\frac{5\pi}{4}$. Этот угол находится в третьей координатной четверти.
$\cos\frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\frac{5\pi}{4} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и раскроем скобки:
$z = 4\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right) = 4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$
$z = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + i \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$z = -2\sqrt{2} - i2\sqrt{2}$

Таким образом, мы получили комплексное число в алгебраической форме.
Ответ: $z = -2\sqrt{2} - i2\sqrt{2}$

664. Отметить на плоскости точки, изображающие комплексные числа:

1) $1 + i$;

2) $2i$;

3) $-5$;

4) $-2i - 3$.

Для того чтобы отметить на плоскости точки, изображающие комплексные числа, необходимо использовать комплексную плоскость. На этой плоскости горизонтальная ось (ось абсцисс) является действительной осью (Re), а вертикальная ось (ось ординат) — мнимой осью (Im). Каждое комплексное число вида $z = a + bi$ представляется точкой с координатами $(a, b)$, где $a$ — действительная часть числа, а $b$ — мнимая часть.

Комплексное число $z_1 = 1 + i$. Действительная часть $a = 1$. Мнимая часть $b = 1$. Следовательно, этому числу на комплексной плоскости соответствует точка с координатами $(1, 1)$.

Ответ: Точка с координатами $(1, 1)$.

Комплексное число $z_2 = 2i$. Его можно представить в стандартной форме как $z_2 = 0 + 2i$. Действительная часть $a = 0$. Мнимая часть $b = 2$. Этому числу соответствует точка с координатами $(0, 2)$, которая лежит на мнимой оси.

Ответ: Точка с координатами $(0, 2)$.

Комплексное число $z_3 = -5$. Это действительное число, которое можно представить в стандартной форме как $z_3 = -5 + 0i$. Действительная часть $a = -5$. Мнимая часть $b = 0$. Этому числу соответствует точка с координатами $(-5, 0)$, которая лежит на действительной оси.

Ответ: Точка с координатами $(-5, 0)$.

Комплексное число $z_4 = -2i - 3$. Запишем его в стандартном виде $z = a + bi$: $z_4 = -3 - 2i$. Действительная часть $a = -3$. Мнимая часть $b = -2$. Этому числу на комплексной плоскости соответствует точка с координатами $(-3, -2)$.

Ответ: Точка с координатами $(-3, -2)$.

665. Решить уравнение:

1) $(5 + 3i) + z = -4 - i;$

2) $(-2 + i) + z = 3 - 2i;$

3) $5 + i = z - (3 - \sqrt{2})i;$

4) $(i - z)(1 + 2i) + (1 - iz)(3 - 4i) = 1 + 7i.$

1) Дано уравнение $(5 + 3i) + z = -4 - i$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $z$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Перенесем $(5 + 3i)$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$z = (-4 - i) - (5 + 3i)$
Раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее:
$z = -4 - i - 5 - 3i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$z = (-4 - 5) + (-i - 3i)$
Выполним сложение:
$z = -9 - 4i$
Ответ: $z = -9 - 4i$

2) Дано уравнение $(-2 + i) + z = 3 - 2i$.
Выразим $z$, перенеся $(-2 + i)$ в правую часть:
$z = (3 - 2i) - (-2 + i)$
Раскроем скобки:
$z = 3 - 2i + 2 - i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$z = (3 + 2) + (-2i - i)$
Выполним вычисления:
$z = 5 - 3i$
Ответ: $z = 5 - 3i$

3) Дано уравнение $5 + i = z - (3 - \sqrt{2}i)$.
Чтобы найти уменьшаемое $z$, нужно к разности прибавить вычитаемое. Перенесем $-(3 - \sqrt{2}i)$ в левую часть с противоположным знаком:
$z = (5 + i) + (3 - \sqrt{2}i)$
Раскроем скобки:
$z = 5 + i + 3 - \sqrt{2}i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$z = (5 + 3) + (i - \sqrt{2}i)$
Вынесем $i$ за скобки в мнимой части:
$z = 8 + (1 - \sqrt{2})i$
Ответ: $z = 8 + (1 - \sqrt{2})i$

4) Дано уравнение $(i - z)(1 + 2i) + (1 - iz)(3 - 4i) = 1 + 7i$.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Вспомним, что $i^2 = -1$.
Первое произведение: $(i - z)(1 + 2i) = i \cdot 1 + i \cdot 2i - z \cdot 1 - z \cdot 2i = i + 2i^2 - z - 2iz = i - 2 - z - 2iz$.
Второе произведение: $(1 - iz)(3 - 4i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-4i) - iz \cdot 3 - iz \cdot (-4i) = 3 - 4i - 3iz + 4i^2z = 3 - 4i - 3iz - 4z$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(i - 2 - z - 2iz) + (3 - 4i - 3iz - 4z) = 1 + 7i$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Сгруппируем слагаемые, содержащие $z$, и свободные члены:
$(-z - 4z) + (-2iz - 3iz) + (-2 + 3) + (i - 4i) = 1 + 7i$
$-5z - 5iz + 1 - 3i = 1 + 7i$
Перенесем свободные члены $(1 - 3i)$ из левой части в правую:
$-5z - 5iz = (1 + 7i) - (1 - 3i)$
$-5z - 5iz = 1 + 7i - 1 + 3i$
$-5z - 5iz = 10i$
В левой части вынесем за скобки общий множитель $-5z$:
$z(-5 - 5i) = 10i$
Выразим $z$:
$z = \frac{10i}{-5 - 5i} = \frac{10i}{-5(1 + i)} = \frac{-2i}{1 + i}$
Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 - i)$:
$z = \frac{-2i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{-2i \cdot 1 - 2i \cdot (-i)}{1^2 - i^2} = \frac{-2i + 2i^2}{1 - (-1)} = \frac{-2i - 2}{2}$
Разделим числитель на знаменатель почленно:
$z = \frac{-2}{2} + \frac{-2i}{2} = -1 - i$
Ответ: $z = -1 - i$

666. Записать в тригонометрической форме число:

1) $-4 + 4i;$

2) $-\sqrt{3} - i.$

1) Чтобы записать комплексное число $z = -4 + 4i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.

Действительная часть числа $a = -4$, мнимая часть $b = 4$.

Модуль комплексного числа вычисляется по формуле:

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-4}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $\cos \varphi < 0$ и $\sin \varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй координатной четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем найденные значения $r$ и $\varphi$ в тригонометрическую форму:

$z = 4\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$.

Ответ: $4\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$.

2) Рассмотрим комплексное число $z = -\sqrt{3} - i$.

Действительная часть числа $a = -\sqrt{3}$, мнимая часть $b = -1$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$ из системы уравнений:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-1}{2}$

Поскольку $\cos \varphi < 0$ и $\sin \varphi < 0$, угол $\varphi$ находится в третьей координатной четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Запишем число в тригонометрической форме, подставив $r=2$ и $\varphi = \frac{7\pi}{6}$:

$z = 2 \left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)$.

Ответ: $2 \left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)$.

667. Решить уравнение:

1) $z^2 - 2z + 5 = 0$;

2) $z^2 + 10z + 26 = 0$;

3) $5z^2 + 6z + 5 = 0$;

4) $2z^2 + 3z + 3 = 0$.

1) Для решения квадратного уравнения $z^2 - 2z + 5 = 0$ воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-2$, $c=5$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = 4i$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 4i}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$.
Таким образом, корни уравнения: $z_1 = 1 + 2i$ и $z_2 = 1 - 2i$.
Ответ: $z_{1,2} = 1 \pm 2i$.

2) Решим уравнение $z^2 + 10z + 26 = 0$. Здесь коэффициенты $a=1$, $b=10$, $c=26$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 - 104 = -4$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-4} = 2i$.
Найдем корни по формуле:
$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 2i}{2} = -5 \pm i$.
Корни уравнения: $z_1 = -5 + i$ и $z_2 = -5 - i$.
Ответ: $z_{1,2} = -5 \pm i$.

3) Решим уравнение $5z^2 + 6z + 5 = 0$. Коэффициенты: $a=5$, $b=6$, $c=5$.
Вычислим дискриминант. Для уравнений с четным вторым коэффициентом удобно использовать формулу для $D/4$: $D/4 = (b/2)^2 - ac$.
$D/4 = (6/2)^2 - 5 \cdot 5 = 3^2 - 25 = 9 - 25 = -16$.
Корни находим по формуле $z_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D/4}}{a}$:
$z_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-16}}{5} = \frac{-3 \pm 4i}{5} = -\frac{3}{5} \pm \frac{4}{5}i$.
Корни уравнения: $z_1 = -0.6 + 0.8i$ и $z_2 = -0.6 - 0.8i$.
Ответ: $z_{1,2} = -\frac{3}{5} \pm \frac{4}{5}i$.

4) Решим уравнение $2z^2 + 3z + 3 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=3$, $c=3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-15} = i\sqrt{15}$.
Найдем корни по формуле:
$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm i\sqrt{15}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{15}}{4} = -\frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{15}}{4}i$.
Корни уравнения: $z_1 = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{15}}{4}i$ и $z_2 = -\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{15}}{4}i$.
Ответ: $z_{1,2} = -\frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{15}}{4}i$.

668. Найти действительные числа x и y из равенства:

1) $(3y - x) + (2y - 3x)i = 6 - 10i;$

2) $xy + xyi - 2i - yi - 3 = 0.$

1) $(3y - x) + (2y - 3x)i = 6 - 10i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Для того чтобы найти действительные числа $x$ и $y$, приравняем действительные части (слагаемые без $i$) и мнимые части (коэффициенты при $i$) левой и правой частей данного равенства.

Действительная часть: $3y - x = 6$

Мнимая часть: $2y - 3x = -10$

Таким образом, мы получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 3y - x = 6 \\ 2y - 3x = -10 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 3y - 6$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$2y - 3(3y - 6) = -10$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$2y - 9y + 18 = -10$

$-7y = -10 - 18$

$-7y = -28$

$y = \frac{-28}{-7} = 4$

Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его в выражение для $x$:

$x = 3(4) - 6 = 12 - 6 = 6$

Проверим найденные значения, подставив их в исходное равенство:

$(3 \cdot 4 - 6) + (2 \cdot 4 - 3 \cdot 6)i = (12 - 6) + (8 - 18)i = 6 - 10i$

Равенство выполняется.

Ответ: $x = 6$, $y = 4$.

2) $xy + xyi - 2i - yi - 3 = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые, чтобы представить левую часть в стандартном виде комплексного числа $a + bi$. Отделим действительную часть (слагаемые без $i$) от мнимой (слагаемые с $i$).

Действительная часть: $xy - 3$

Мнимая часть: $xyi - yi - 2i = (xy - y - 2)i$

Перепишем уравнение в виде:

$(xy - 3) + (xy - y - 2)i = 0$

Правая часть уравнения, $0$, может быть представлена как комплексное число $0 + 0i$. Равенство будет верным, если действительная и мнимая части в левой части уравнения равны нулю.

Приравняем действительную и мнимую части к нулю:

$ \begin{cases} xy - 3 = 0 \\ xy - y - 2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы сразу находим, что:

$xy = 3$

Подставим это значение $xy$ во второе уравнение:

$3 - y - 2 = 0$

$1 - y = 0$

$y = 1$

Теперь, зная $y=1$, найдем $x$ из первого уравнения $xy = 3$:

$x \cdot 1 = 3$

$x = 3$

Проверим найденные значения, подставив их в исходное равенство:

$(3 \cdot 1) + (3 \cdot 1)i - 2i - (1)i - 3 = 3 + 3i - 2i - i - 3 = (3 - 3) + (3 - 2 - 1)i = 0 + 0i = 0$

Равенство выполняется.

Ответ: $x = 3$, $y = 1$.

669. Выполнить действия:

1) $ \frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} + i^{24} + i^{25} + i^{26} $

2) $ \frac{2-i^5}{2-i^7} + (i-1)^2 $

1) Выполним действия для выражения $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} + i^{24} + i^{25} + i^{26}$.

Сначала упростим степени мнимой единицы $i$, зная, что $i^2 = -1$ и $i^4 = 1$. Степени $i$ повторяются с периодом 4.

$i^{24} = (i^4)^6 = 1^6 = 1$
$i^{25} = i^{24} \cdot i = 1 \cdot i = i$
$i^{26} = i^{24} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$

Сумма этих членов равна:
$i^{24} + i^{25} + i^{26} = 1 + i + (-1) = i$.

Теперь упростим дробь $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}$. Для этого удобно сначала вычислить квадраты выражений в скобках:

$(1+i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$
$(1-i)^2 = 1^2 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

Теперь можем вычислить числитель и знаменатель дроби:

$(1+i)^6 = ((1+i)^2)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = 8(-i) = -

670. Сравнить модули чисел $\frac{3 + i^{19}}{2 + i^{13}}$ и $\frac{1 + 2i^{7}}{1 + 3i}$.

Для того чтобы сравнить модули двух комплексных чисел $z_1 = \frac{3 + i^{19}}{2 + i^{13}}$ и $z_2 = \frac{1 + 2i^7}{1 + 3i}$, необходимо сначала вычислить модуль каждого из них.

Воспользуемся свойством модуля частного комплексных чисел: $|\frac{z_a}{z_b}| = \frac{|z_a|}{|z_b|}$.

Сначала упростим степени мнимой единицы $i$, используя их циклические свойства ($i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$). Степень $i^n$ равна $i^r$, где $r$ — остаток от деления $n$ на 4.

Для числителя: $19 = 4 \cdot 4 + 3$, поэтому $i^{19} = i^3 = -i$.

Для знаменателя: $13 = 4 \cdot 3 + 1$, поэтому $i^{13} = i^1 = i$.

Подставим упрощенные значения в выражение для $z_1$:

$z_1 = \frac{3 - i}{2 + i}$

Теперь найдем модуль этого числа. Модуль комплексного числа $a + bi$ вычисляется по формуле $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$|z_1| = \left| \frac{3 - i}{2 + i} \right| = \frac{|3 - i|}{|2 + i|} = \frac{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{9+1}}{\sqrt{4+1}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$.

Аналогично найдем модуль второго числа $z_2 = \frac{1 + 2i^7}{1 + 3i}$.

Упростим степень мнимой единицы в числителе: $7 = 4 \cdot 1 + 3$, поэтому $i^7 = i^3 = -i$.

Подставим это значение в выражение для $z_2$:

$z_2 = \frac{1 + 2(-i)}{1 + 3i} = \frac{1 - 2i}{1 + 3i}$

Вычислим модуль этого числа:

$|z_2| = \left| \frac{1 - 2i}{1 + 3i} \right| = \frac{|1 - 2i|}{|1 + 3i|} = \frac{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{\sqrt{1+4}}{\sqrt{1+9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь сравним полученные значения модулей: $|z_1| = \sqrt{2}$ и $|z_2| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $2 > 1$, то после деления на 2 (положительное число) получим $1 > \frac{1}{2}$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число $\sqrt{2}$:

$1 \cdot \sqrt{2} > \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}$

$\sqrt{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $|z_1| > |z_2|$.

Ответ: Модуль первого числа $\left|\frac{3 + i^{19}}{2 + i^{13}}\right|$ больше модуля второго числа $\left|\frac{1 + 2i^7}{1 + 3i}\right|$.

671. Найти мнимую часть числа z, если:

1) $z = \frac{(2i+3)^2}{i-1} - \frac{i}{i+1}$;

2) $z = \frac{18}{\sqrt{5}-2i} + \frac{3-4i^{11}}{i^9}$.

1) Чтобы найти мнимую часть комплексного числа $z = \frac{(2i + 3)^2}{i - 1} - \frac{i}{i + 1}$, необходимо привести его к алгебраической форме $a+bi$, где $b$ является мнимой частью.

Для начала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(i - 1)(i + 1) = i^2 - 1^2 = -1 - 1 = -2$.

$z = \frac{(2i + 3)^2(i + 1) - i(i - 1)}{(i - 1)(i + 1)} = \frac{(2i + 3)^2(i + 1) - i(i - 1)}{-2}$

Теперь раскроем скобки в числителе. Сначала возведем в квадрат выражение $(2i + 3)^2$:

$(2i + 3)^2 = (2i)^2 + 2 \cdot 2i \cdot 3 + 3^2 = 4i^2 + 12i + 9 = -4 + 12i + 9 = 5 + 12i$.

Далее умножим полученный результат на $(i + 1)$:

$(5 + 12i)(i + 1) = 5i + 5 + 12i^2 + 12i = 5i + 5 - 12 + 12i = -7 + 17i$.

Упростим второе слагаемое в числителе: $-i(i - 1) = -i^2 + i = -(-1) + i = 1 + i$.

Соберем числитель вместе:

Числитель = $(-7 + 17i) + (1 + i) = -6 + 18i$.

Теперь вычислим значение $z$:

$z = \frac{-6 + 18i}{-2} = \frac{-6}{-2} + \frac{18i}{-2} = 3 - 9i$.

Комплексное число $z$ в алгебраической форме равно $3 - 9i$. Мнимая часть этого числа, то есть коэффициент при $i$, равна -9.

Ответ: -9.

2) Чтобы найти мнимую часть комплексного числа $z = \frac{18}{\sqrt{5} - 2i} + \frac{3 - 4i^{11}}{i^9}$, приведем его к алгебраической форме $a+bi$.

Сначала упростим степени мнимой единицы $i$. Степени $i$ имеют цикл 4: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$.

$i^9 = i^{4 \cdot 2 + 1} = (i^4)^2 \cdot i^1 = 1^2 \cdot i = i$.

$i^{11} = i^{4 \cdot 2 + 3} = (i^4)^2 \cdot i^3 = 1^2 \cdot (-i) = -i$.

Подставим упрощенные степени в исходное выражение:

$z = \frac{18}{\sqrt{5} - 2i} + \frac{3 - 4(-i)}{i} = \frac{18}{\sqrt{5} - 2i} + \frac{3 + 4i}{i}$.

Теперь упростим каждую дробь по отдельности. Для первой дроби домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{5} + 2i$:

$\frac{18}{\sqrt{5} - 2i} = \frac{18(\sqrt{5} + 2i)}{(\sqrt{5} - 2i)(\sqrt{5} + 2i)} = \frac{18\sqrt{5} + 36i}{(\sqrt{5})^2 - (2i)^2} = \frac{18\sqrt{5} + 36i}{5 - 4i^2} = \frac{18\sqrt{5} + 36i}{5 + 4} = \frac{18\sqrt{5} + 36i}{9} = 2\sqrt{5} + 4i$.

Для второй дроби домножим числитель и знаменатель на $i$ (или на $-i$):

$\frac{3 + 4i}{i} = \frac{(3 + 4i) \cdot i}{i \cdot i} = \frac{3i + 4i^2}{i^2} = \frac{3i - 4}{-1} = 4 - 3i$.

Сложим полученные комплексные числа:

$z = (2\sqrt{5} + 4i) + (4 - 3i) = (2\sqrt{5} + 4) + (4i - 3i) = (4 + 2\sqrt{5}) + i$.

Комплексное число $z$ в алгебраической форме равно $(4 + 2\sqrt{5}) + 1 \cdot i$. Мнимая часть этого числа, то есть коэффициент при $i$, равна 1.

Ответ: 1.

672. Определить, при каких действительных значениях $x$ и $y$ сумма $\frac{x-1}{3+i} + \frac{y-1}{3-i}$ равна $i$.

Чтобы найти действительные значения $x$ и $y$, при которых выполняется данное равенство, мы должны преобразовать левую часть уравнения так, чтобы можно было выделить действительную и мнимую части.

Исходное уравнение:

$ \frac{x-1}{3+i} + \frac{y-1}{3-i} = i $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей, которые являются комплексно-сопряженными числами:

$ (3+i)(3-i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10 $

Теперь выполним сложение дробей:

$ \frac{(x-1)(3-i) + (y-1)(3+i)}{10} = i $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3(x-1) - i(x-1) + 3(y-1) + i(y-1)}{10} = i $

Сгруппируем в числителе действительные и мнимые слагаемые:

$ \frac{[3(x-1) + 3(y-1)] + i[-(x-1) + (y-1)]}{10} = i $

$ \frac{(3x - 3 + 3y - 3) + i(-x + 1 + y - 1)}{10} = i $

$ \frac{(3x + 3y - 6) + i(y - x)}{10} = i $

Разделим выражение в левой части на действительную и мнимую части:

$ \frac{3x + 3y - 6}{10} + i \frac{y - x}{10} = 0 + 1 \cdot i $

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравниваем соответственно действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения.

Равенство действительных частей:

$ \frac{3x + 3y - 6}{10} = 0 \implies 3x + 3y - 6 = 0 \implies x + y = 2 $

Равенство мнимых частей:

$ \frac{y - x}{10} = 1 \implies y - x = 10 $

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 2 \\ y - x = 10 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $x$:

$ (x + y) + (y - x) = 2 + 10 $

$ 2y = 12 $

$ y = 6 $

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение ($x + y = 2$):

$ x + 6 = 2 $

$ x = 2 - 6 $

$ x = -4 $

Таким образом, действительные значения, удовлетворяющие условию, это $x = -4$ и $y = 6$.

Ответ: $x = -4, y = 6$.

673. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если один из его корней равен:

1) $\sqrt{3} - \sqrt{5}i$;

2) $\frac{3-2i}{2+3i}$.

Приведённое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет вид $z^2 + pz + q = 0$, где коэффициенты $p$ и $q$ являются действительными числами ($p, q \in \mathbb{R}$).

Важным свойством таких уравнений является то, что если один из корней является комплексным числом $z_1 = a + bi$ (где $b \neq 0$), то второй корень $z_2$ обязательно будет его комплексно сопряжённым числом, то есть $z_2 = \overline{z_1} = a - bi$.

Согласно теореме Виета, для приведённого квадратного уравнения $z^2 + pz + q = 0$ справедливы следующие соотношения между корнями $z_1, z_2$ и коэффициентами:
$z_1 + z_2 = -p$
$z_1 \cdot z_2 = q$

Используя эти соотношения, можно составить уравнение, зная его корни: $z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2 = 0$.

1)

Дан один из корней уравнения: $z_1 = \sqrt{3} - \sqrt{5}i$.

Поскольку по условию коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ должен быть комплексно сопряжённым к $z_1$: $z_2 = \overline{\sqrt{3} - \sqrt{5}i} = \sqrt{3} + \sqrt{5}i$.

Теперь найдём сумму и произведение корней.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = (\sqrt{3} - \sqrt{5}i) + (\sqrt{3} + \sqrt{5}i) = 2\sqrt{3}$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (\sqrt{3} - \sqrt{5}i)(\sqrt{3} + \sqrt{5}i) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}i)^2 = 3 - (5 \cdot i^2) = 3 - 5(-1) = 3 + 5 = 8$.

Теперь подставим найденные значения суммы и произведения в формулу уравнения $z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2 = 0$: $z^2 - (2\sqrt{3})z + 8 = 0$.

Ответ: $z^2 - 2\sqrt{3}z + 8 = 0$.

2)

Дан один из корней уравнения: $z_1 = \frac{3 - 2i}{2 + 3i}$.

Сначала необходимо упростить это комплексное число, приведя его к стандартному виду $a + bi$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю, то есть на $2 - 3i$: $z_1 = \frac{3 - 2i}{2 + 3i} = \frac{(3 - 2i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{3 \cdot 2 - 3 \cdot 3i - 2i \cdot 2 + (-2i)(-3i)}{2^2 - (3i)^2} = \frac{6 - 9i - 4i + 6i^2}{4 - 9i^2} = \frac{6 - 13i - 6}{4 - 9(-1)} = \frac{-13i}{4 + 9} = \frac{-13i}{13} = -i$.

Итак, один из корней равен $z_1 = -i$.

Второй корень $z_2$ будет комплексно сопряжённым к $z_1$: $z_2 = \overline{-i} = \overline{0 - i} = 0 + i = i$.

Найдём сумму и произведение корней.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = -i + i = 0$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (-i)(i) = -i^2 = -(-1) = 1$.

Подставим найденные значения в формулу $z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2 = 0$: $z^2 - (0)z + 1 = 0$.

Ответ: $z^2 + 1 = 0$.