Номер 671, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 671, страница 252.

Условие.

671. Найти мнимую часть числа z, если:

1) $z = \frac{(2i+3)^2}{i-1} - \frac{i}{i+1}$;

2) $z = \frac{18}{\sqrt{5}-2i} + \frac{3-4i^{11}}{i^9}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти мнимую часть комплексного числа $z = \frac{(2i + 3)^2}{i - 1} - \frac{i}{i + 1}$, необходимо привести его к алгебраической форме $a+bi$, где $b$ является мнимой частью.

Для начала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(i - 1)(i + 1) = i^2 - 1^2 = -1 - 1 = -2$.

$z = \frac{(2i + 3)^2(i + 1) - i(i - 1)}{(i - 1)(i + 1)} = \frac{(2i + 3)^2(i + 1) - i(i - 1)}{-2}$

Теперь раскроем скобки в числителе. Сначала возведем в квадрат выражение $(2i + 3)^2$:

$(2i + 3)^2 = (2i)^2 + 2 \cdot 2i \cdot 3 + 3^2 = 4i^2 + 12i + 9 = -4 + 12i + 9 = 5 + 12i$.

Далее умножим полученный результат на $(i + 1)$:

$(5 + 12i)(i + 1) = 5i + 5 + 12i^2 + 12i = 5i + 5 - 12 + 12i = -7 + 17i$.

Упростим второе слагаемое в числителе: $-i(i - 1) = -i^2 + i = -(-1) + i = 1 + i$.

Соберем числитель вместе:

Числитель = $(-7 + 17i) + (1 + i) = -6 + 18i$.

Теперь вычислим значение $z$:

$z = \frac{-6 + 18i}{-2} = \frac{-6}{-2} + \frac{18i}{-2} = 3 - 9i$.

Комплексное число $z$ в алгебраической форме равно $3 - 9i$. Мнимая часть этого числа, то есть коэффициент при $i$, равна -9.

Ответ: -9.

2) Чтобы найти мнимую часть комплексного числа $z = \frac{18}{\sqrt{5} - 2i} + \frac{3 - 4i^{11}}{i^9}$, приведем его к алгебраической форме $a+bi$.

Сначала упростим степени мнимой единицы $i$. Степени $i$ имеют цикл 4: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$.

$i^9 = i^{4 \cdot 2 + 1} = (i^4)^2 \cdot i^1 = 1^2 \cdot i = i$.

$i^{11} = i^{4 \cdot 2 + 3} = (i^4)^2 \cdot i^3 = 1^2 \cdot (-i) = -i$.

Подставим упрощенные степени в исходное выражение:

$z = \frac{18}{\sqrt{5} - 2i} + \frac{3 - 4(-i)}{i} = \frac{18}{\sqrt{5} - 2i} + \frac{3 + 4i}{i}$.

Теперь упростим каждую дробь по отдельности. Для первой дроби домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{5} + 2i$:

$\frac{18}{\sqrt{5} - 2i} = \frac{18(\sqrt{5} + 2i)}{(\sqrt{5} - 2i)(\sqrt{5} + 2i)} = \frac{18\sqrt{5} + 36i}{(\sqrt{5})^2 - (2i)^2} = \frac{18\sqrt{5} + 36i}{5 - 4i^2} = \frac{18\sqrt{5} + 36i}{5 + 4} = \frac{18\sqrt{5} + 36i}{9} = 2\sqrt{5} + 4i$.

Для второй дроби домножим числитель и знаменатель на $i$ (или на $-i$):

$\frac{3 + 4i}{i} = \frac{(3 + 4i) \cdot i}{i \cdot i} = \frac{3i + 4i^2}{i^2} = \frac{3i - 4}{-1} = 4 - 3i$.

Сложим полученные комплексные числа:

$z = (2\sqrt{5} + 4i) + (4 - 3i) = (2\sqrt{5} + 4) + (4i - 3i) = (4 + 2\sqrt{5}) + i$.

Комплексное число $z$ в алгебраической форме равно $(4 + 2\sqrt{5}) + 1 \cdot i$. Мнимая часть этого числа, то есть коэффициент при $i$, равна 1.

Ответ: 1.