Номер 675, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 675, страница 253.

Условие.

675. Записать в тригонометрической и алгебраической формах комплексное число:

1) $z=\left(\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)\right)^{-3}$;

2) $z=(\sqrt{3}-i)^{6}$;

3) $z=\frac{1}{\left(\cos 12^{\circ}+i \sin 12^{\circ}\right)^{5}}$;

4) $z=\frac{\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)(1+\sqrt{3} i)^{7}}{i}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное комплексное число $z = \left(\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)\right)^{-3}$ уже содержит часть в тригонометрической форме.
Обозначим $z_0 = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)$. Это число в тригонометрической форме с модулем $r_0 = \frac{1}{2}$ и аргументом $\varphi_0 = \frac{\pi}{12}$.
Для нахождения $z = z_0^{-3}$ воспользуемся формулой Муавра для возведения комплексного числа в степень $n$: $z^n = (r(\cos\varphi + i\sin\varphi))^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.
В нашем случае $n = -3$.
Модуль итогового числа: $r = r_0^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$.
Аргумент итогового числа: $\varphi = n\varphi_0 = -3 \cdot \frac{\pi}{12} = -\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа $z$: $z = 8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$.
Для нахождения алгебраической формы $z = x + yi$, вычислим значения косинуса и синуса для найденного аргумента:
$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставим эти значения:
$z = 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - i \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = 8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$; алгебраическая форма: $z = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.

2) Дано число $z = (\sqrt{3} - i)^6$. Сначала представим основание степени $z_0 = \sqrt{3} - i$ в тригонометрической форме $z_0 = r_0(\cos\varphi_0 + i\sin\varphi_0)$.
Действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.
Найдем модуль $r_0$: $r_0 = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент $\varphi_0$: $\cos\varphi_0 = \frac{x}{r_0} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_0 = \frac{y}{r_0} = -\frac{1}{2}$.
Этим условиям соответствует угол $\varphi_0 = -\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$).
Итак, $z_0 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$.
Теперь возведем $z_0$ в степень $n=6$ по формуле Муавра:
$z = z_0^6 = 2^6\left(\cos\left(6 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) + i\sin\left(6 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)$.
Модуль: $r = 2^6 = 64$.
Аргумент: $\varphi = 6 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\pi$.
Тригонометрическая форма числа $z$: $z = 64(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$.
Для нахождения алгебраической формы, вычислим значения тригонометрических функций:
$\cos(-\pi) = -1$
$\sin(-\pi) = 0$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = 64(-1 + i \cdot 0) = -64$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = 64(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$; алгебраическая форма: $z = -64$.

3) Дано число $z = \frac{1}{(\cos 12^\circ + i\sin 12^\circ)^5}$.
Это выражение можно переписать как $z = (\cos 12^\circ + i\sin 12^\circ)^{-5}$.
Основание степени $z_0 = \cos 12^\circ + i\sin 12^\circ$ находится в тригонометрической форме с модулем $r_0=1$ и аргументом $\varphi_0=12^\circ$.
Применяем формулу Муавра для $n=-5$:
$z = 1^{-5}(\cos(-5 \cdot 12^\circ) + i\sin(-5 \cdot 12^\circ))$.
Модуль $r = 1$.
Аргумент $\varphi = -5 \cdot 12^\circ = -60^\circ$.
Тригонометрическая форма: $z = \cos(-60^\circ) + i\sin(-60^\circ)$.
Для нахождения алгебраической формы, вычислим значения функций:
$\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
$\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = \frac{1}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = \cos(-60^\circ) + i\sin(-60^\circ)$; алгебраическая форма: $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

4) Дано число $z = \frac{\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)(1 + \sqrt{3}i)^7}{i}$.
Представим каждый сомножитель и делитель в тригонометрической форме.
1. $z_1 = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$. Модуль $r_1=1$, аргумент $\varphi_1 = -\frac{\pi}{3}$.
2. $z_2 = (1 + \sqrt{3}i)^7$. Основание $w = 1 + \sqrt{3}i$. Его модуль $|w| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. Аргумент $\arg(w)$ находится из условий $\cos(\arg(w)) = 1/2$, $\sin(\arg(w)) = \sqrt{3}/2$, что дает $\arg(w) = \pi/3$. Тогда $w = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$. По формуле Муавра $z_2 = w^7 = 2^7\left(\cos\left(7\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(7\frac{\pi}{3}\right)\right)$. Модуль $r_2=2^7=128$. Аргумент $\varphi_2=7\pi/3 = 2\pi + \pi/3$, что эквивалентно $\pi/3$.
3. $z_3 = i$. Модуль $r_3 = |i| = 1$. Аргумент $\varphi_3 = \frac{\pi}{2}$. Итак, $z_3 = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Теперь найдем $z = \frac{z_1 z_2}{z_3}$. Модуль $r = \frac{r_1 r_2}{r_3} = \frac{1 \cdot 128}{1} = 128$.
Аргумент $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 - \varphi_3 = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
Тригонометрическая форма: $z = 128\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.
Для нахождения алгебраической формы, вычислим значения:
$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$
$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = 128(0 + i(-1)) = -128i$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = 128\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$; алгебраическая форма: $z = -128i$.