Номер 677, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Упражнения к главе VII - номер 677, страница 253.

Условие.

677. Найти все значения:

1) $ \sqrt[4]{4} $;

2) $ \sqrt[3]{i} $;

3) $ \sqrt[6]{1} $;

4) $ \sqrt[4]{-2+2i\sqrt{3}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения всех значений корня $n$-ой степени из комплексного числа $z$ используется формула Муавра. Сначала число $z$ представляется в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\phi = \arg(z)$ - его аргумент. Затем все $n$ корней находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, \ldots, n-1$.

1) $\sqrt[4]{4}$

Найдём все значения корня 4-й степени из числа 4. Это комплексное число $z = 4 + 0i$.

1. Найдём модуль и аргумент числа $z=4$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$.
Аргумент: $\phi = \arg(z) = 0$, так как число является действительным и положительным.
Тригонометрическая форма: $z = 4(\cos(0) + i\sin(0))$.

2. Применим формулу Муавра для $n=4, r=4, \phi=0$.
$w_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{2}\right) \right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

3. Вычислим значения для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}(\cos(0) + i\sin(0)) = \sqrt{2}(1 + 0i) = \sqrt{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = \sqrt{2}(0 + i) = i\sqrt{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = \sqrt{2}(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = \sqrt{2}(-1 + 0i) = -\sqrt{2}$.
• При $k=3$: $w_3 = \sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = \sqrt{2}(0 - i) = -i\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$.

2) $\sqrt[3]{i}$

Найдём все значения корня 3-й степени из числа $i$. Это комплексное число $z = 0 + 1i$.

1. Найдём модуль и аргумент числа $z=i$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$.
Аргумент: $\phi = \arg(z) = \frac{\pi}{2}$, так как число лежит на положительной мнимой полуоси.
Тригонометрическая форма: $z = 1\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

2. Применим формулу Муавра для $n=3, r=1, \phi=\frac{\pi}{2}$.
$w_k = \sqrt[3]{1} \left( \cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3}\right) \right) = \cos\left(\frac{\pi + 4\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi k}{6}\right)$ для $k=0, 1, 2$.

3. Вычислим значения для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = \cos\left(\frac{9\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 - i = -i$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, -i$.

3) $\sqrt[6]{1}$

Найдём все значения корня 6-й степени из 1 (корни из единицы).

1. Представим число $z=1$ в тригонометрической форме.
Модуль: $r = |z| = 1$.
Аргумент: $\phi = \arg(z) = 0$.
Тригонометрическая форма: $z = 1(\cos(0) + i\sin(0))$.

2. Применим формулу Муавра для $n=6, r=1, \phi=0$.
$w_k = \sqrt[6]{1} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{6}\right) \right) = \cos\left(\frac{\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{3}\right)$ для $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$.

3. Вычислим значения для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.
• При $k=1$: $w_1 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• При $k=3$: $w_3 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.
• При $k=4$: $w_4 = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• При $k=5$: $w_5 = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1, \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -1, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) $\sqrt[4]{-2+2i\sqrt{3}}$

Найдём все значения корня 4-й степени из числа $z = -2 + 2i\sqrt{3}$.

1. Найдём модуль и аргумент числа $z$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{16} = 4$.
Для нахождения аргумента $\phi$ имеем: $\cos\phi = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $\sin\phi = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Точка находится во второй координатной четверти, следовательно, $\phi = \frac{2\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = 4\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)$.

2. Применим формулу Муавра для $n=4, r=4, \phi=\frac{2\pi}{3}$.
$w_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos\left(\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi(1 + 3k)}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi(1 + 3k)}{6}\right) \right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

3. Вычислим значения для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{4\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• При $k=3$: $w_3 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{10\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{10\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.