Страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

674. Вычислить:

1) $(3(\cos \frac{7\pi}{8} + i\sin \frac{7\pi}{8}))^4;$

2) $(\cos 20^{\circ} + i\sin 20^{\circ})^{12};$

3) $(2(\cos (-20^{\circ}) + i\sin (-20^{\circ})))^3;$

4) $\frac{1}{(\cos \frac{\pi}{20} + i\sin \frac{\pi}{20})^5}$

1) Для решения используется формула Муавра для возведения комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, в степень: $ [r(\cos \phi + i \sin \phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi)) $. В данном случае модуль комплексного числа $r=3$, аргумент $\phi = \frac{7\pi}{8}$ и показатель степени $n=4$. Подставляем эти значения в формулу: $ (3(\cos \frac{7\pi}{8} + i\sin \frac{7\pi}{8}))^4 = 3^4(\cos(4 \cdot \frac{7\pi}{8}) + i\sin(4 \cdot \frac{7\pi}{8})) = 81(\cos \frac{28\pi}{8} + i\sin \frac{28\pi}{8}) = 81(\cos \frac{7\pi}{2} + i\sin \frac{7\pi}{2}) $. Теперь вычислим значения косинуса и синуса для полученного аргумента: $ \cos \frac{7\pi}{2} = \cos(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos \frac{3\pi}{2} = 0 $. $ \sin \frac{7\pi}{2} = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1 $. Подставляем эти значения в выражение: $ 81(0 + i(-1)) = -81i $. Ответ: $-81i$.

2) Используем формулу Муавра: $ (\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos(n\phi) + i \sin(n\phi) $. В этом примере модуль $r=1$, аргумент $\phi = 20^\circ$ и показатель степени $n=12$. $ (\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ)^{12} = \cos(12 \cdot 20^\circ) + i\sin(12 \cdot 20^\circ) = \cos(240^\circ) + i\sin(240^\circ) $. Угол $240^\circ$ находится в третьей координатной четверти. Вычислим значения косинуса и синуса, используя формулы приведения: $ \cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} $. $ \sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. В результате получаем комплексное число в алгебраической форме: $ -\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $. Ответ: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Снова применяем формулу Муавра $ [r(\cos \phi + i \sin \phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi)) $. Здесь $r=2$, $\phi = -20^\circ$ и $n=3$. $ (2(\cos(-20^\circ) + i\sin(-20^\circ)))^3 = 2^3(\cos(3 \cdot (-20^\circ)) + i\sin(3 \cdot (-20^\circ))) = 8(\cos(-60^\circ) + i\sin(-60^\circ)) $. Используя свойства четности косинуса ($ \cos(-x) = \cos(x) $) и нечетности синуса ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), находим: $ \cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $. $ \sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставляем вычисленные значения: $ 8(\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = 8(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 - 4i\sqrt{3} $. Ответ: $4 - 4i\sqrt{3}$.

4) Данное выражение можно представить в виде степени с отрицательным показателем: $ \frac{1}{(\cos\frac{\pi}{20} + i\sin\frac{\pi}{20})^5} = (\cos\frac{\pi}{20} + i\sin\frac{\pi}{20})^{-5} $. Теперь применим формулу Муавра для $n=-5$: $ (\cos\frac{\pi}{20} + i\sin\frac{\pi}{20})^{-5} = \cos(-5 \cdot \frac{\pi}{20}) + i\sin(-5 \cdot \frac{\pi}{20}) = \cos(-\frac{5\pi}{20}) + i\sin(-\frac{5\pi}{20}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) $. Вычислим значения, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $ \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, итоговое выражение равно: $ \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} $. Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

675. Записать в тригонометрической и алгебраической формах комплексное число:

1) $z=\left(\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)\right)^{-3}$;

2) $z=(\sqrt{3}-i)^{6}$;

3) $z=\frac{1}{\left(\cos 12^{\circ}+i \sin 12^{\circ}\right)^{5}}$;

4) $z=\frac{\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)(1+\sqrt{3} i)^{7}}{i}$

1) Исходное комплексное число $z = \left(\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)\right)^{-3}$ уже содержит часть в тригонометрической форме.
Обозначим $z_0 = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)$. Это число в тригонометрической форме с модулем $r_0 = \frac{1}{2}$ и аргументом $\varphi_0 = \frac{\pi}{12}$.
Для нахождения $z = z_0^{-3}$ воспользуемся формулой Муавра для возведения комплексного числа в степень $n$: $z^n = (r(\cos\varphi + i\sin\varphi))^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.
В нашем случае $n = -3$.
Модуль итогового числа: $r = r_0^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$.
Аргумент итогового числа: $\varphi = n\varphi_0 = -3 \cdot \frac{\pi}{12} = -\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа $z$: $z = 8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$.
Для нахождения алгебраической формы $z = x + yi$, вычислим значения косинуса и синуса для найденного аргумента:
$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставим эти значения:
$z = 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - i \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = 8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$; алгебраическая форма: $z = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.

2) Дано число $z = (\sqrt{3} - i)^6$. Сначала представим основание степени $z_0 = \sqrt{3} - i$ в тригонометрической форме $z_0 = r_0(\cos\varphi_0 + i\sin\varphi_0)$.
Действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.
Найдем модуль $r_0$: $r_0 = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент $\varphi_0$: $\cos\varphi_0 = \frac{x}{r_0} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_0 = \frac{y}{r_0} = -\frac{1}{2}$.
Этим условиям соответствует угол $\varphi_0 = -\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$).
Итак, $z_0 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$.
Теперь возведем $z_0$ в степень $n=6$ по формуле Муавра:
$z = z_0^6 = 2^6\left(\cos\left(6 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) + i\sin\left(6 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)$.
Модуль: $r = 2^6 = 64$.
Аргумент: $\varphi = 6 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\pi$.
Тригонометрическая форма числа $z$: $z = 64(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$.
Для нахождения алгебраической формы, вычислим значения тригонометрических функций:
$\cos(-\pi) = -1$
$\sin(-\pi) = 0$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = 64(-1 + i \cdot 0) = -64$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = 64(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$; алгебраическая форма: $z = -64$.

3) Дано число $z = \frac{1}{(\cos 12^\circ + i\sin 12^\circ)^5}$.
Это выражение можно переписать как $z = (\cos 12^\circ + i\sin 12^\circ)^{-5}$.
Основание степени $z_0 = \cos 12^\circ + i\sin 12^\circ$ находится в тригонометрической форме с модулем $r_0=1$ и аргументом $\varphi_0=12^\circ$.
Применяем формулу Муавра для $n=-5$:
$z = 1^{-5}(\cos(-5 \cdot 12^\circ) + i\sin(-5 \cdot 12^\circ))$.
Модуль $r = 1$.
Аргумент $\varphi = -5 \cdot 12^\circ = -60^\circ$.
Тригонометрическая форма: $z = \cos(-60^\circ) + i\sin(-60^\circ)$.
Для нахождения алгебраической формы, вычислим значения функций:
$\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
$\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = \frac{1}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = \cos(-60^\circ) + i\sin(-60^\circ)$; алгебраическая форма: $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

4) Дано число $z = \frac{\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)(1 + \sqrt{3}i)^7}{i}$.
Представим каждый сомножитель и делитель в тригонометрической форме.
1. $z_1 = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$. Модуль $r_1=1$, аргумент $\varphi_1 = -\frac{\pi}{3}$.
2. $z_2 = (1 + \sqrt{3}i)^7$. Основание $w = 1 + \sqrt{3}i$. Его модуль $|w| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. Аргумент $\arg(w)$ находится из условий $\cos(\arg(w)) = 1/2$, $\sin(\arg(w)) = \sqrt{3}/2$, что дает $\arg(w) = \pi/3$. Тогда $w = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$. По формуле Муавра $z_2 = w^7 = 2^7\left(\cos\left(7\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(7\frac{\pi}{3}\right)\right)$. Модуль $r_2=2^7=128$. Аргумент $\varphi_2=7\pi/3 = 2\pi + \pi/3$, что эквивалентно $\pi/3$.
3. $z_3 = i$. Модуль $r_3 = |i| = 1$. Аргумент $\varphi_3 = \frac{\pi}{2}$. Итак, $z_3 = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Теперь найдем $z = \frac{z_1 z_2}{z_3}$. Модуль $r = \frac{r_1 r_2}{r_3} = \frac{1 \cdot 128}{1} = 128$.
Аргумент $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 - \varphi_3 = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
Тригонометрическая форма: $z = 128\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.
Для нахождения алгебраической формы, вычислим значения:
$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$
$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$
Подставляем в выражение для $z$:
$z = 128(0 + i(-1)) = -128i$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = 128\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$; алгебраическая форма: $z = -128i$.

676. Решить систему уравнений:

1) $$\begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i, \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} z^2 + |z| = 0, \\ \bar{z} = -4z. \end{cases}$$

1)

Дана система линейных уравнений с комплексными переменными:

$ \begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i, \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i; \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $z_1$:

$z_1 = 1 + i - 2z_2$

Подставим это выражение для $z_1$ во второе уравнение системы:

$3(1 + i - 2z_2) + iz_2 = 2 - 3i$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 + 3i - 6z_2 + iz_2 = 2 - 3i$

Сгруппируем члены, содержащие $z_2$:

$z_2(i - 6) = 2 - 3i - 3 - 3i$

$z_2(-6 + i) = -1 - 6i$

Теперь выразим $z_2$:

$z_2 = \frac{-1 - 6i}{-6 + i} = \frac{-(1 + 6i)}{-(6 - i)} = \frac{1 + 6i}{6 - i}$

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю число, то есть на $6 + i$:

$z_2 = \frac{(1 + 6i)(6 + i)}{(6 - i)(6 + i)} = \frac{6 + i + 36i + 6i^2}{6^2 - i^2} = \frac{6 + 37i - 6}{36 - (-1)} = \frac{37i}{37} = i$

Итак, мы нашли $z_2 = i$. Теперь найдем $z_1$, подставив значение $z_2$ в выражение для $z_1$:

$z_1 = 1 + i - 2z_2 = 1 + i - 2(i) = 1 + i - 2i = 1 - i$

Проверим найденные значения. Для первого уравнения: $(1 - i) + 2(i) = 1 - i + 2i = 1 + i$. Равенство выполняется. Для второго уравнения: $3(1 - i) + i(i) = 3 - 3i + i^2 = 3 - 3i - 1 = 2 - 3i$. Равенство также выполняется.

Ответ: $z_1 = 1 - i, z_2 = i$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} z^2 + |z| = 0, \\ \bar{z} = -4z. \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение системы: $\bar{z} = -4z$.

Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда сопряженное число $\bar{z} = x - iy$. Подставим эти выражения в уравнение:

$x - iy = -4(x + iy)$

$x - iy = -4x - 4iy$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их:

Действительная часть: $x = -4x \implies 5x = 0 \implies x = 0$.

Мнимая часть: $-y = -4y \implies 3y = 0 \implies y = 0$.

Таким образом, единственным решением второго уравнения является $z = 0 + 0i = 0$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли это решение первому уравнению системы $z^2 + |z| = 0$.

Подставим $z = 0$ в первое уравнение:

$0^2 + |0| = 0 + 0 = 0$

Равенство $0 = 0$ является верным. Следовательно, $z = 0$ является решением системы.

Поскольку второе уравнение имеет только одно решение $z=0$, то и вся система может иметь только это решение.

Ответ: $z = 0$.

677. Найти все значения:

1) $ \sqrt[4]{4} $;

2) $ \sqrt[3]{i} $;

3) $ \sqrt[6]{1} $;

4) $ \sqrt[4]{-2+2i\sqrt{3}} $.

Для нахождения всех значений корня $n$-ой степени из комплексного числа $z$ используется формула Муавра. Сначала число $z$ представляется в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\phi = \arg(z)$ - его аргумент. Затем все $n$ корней находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, \ldots, n-1$.

1) $\sqrt[4]{4}$

Найдём все значения корня 4-й степени из числа 4. Это комплексное число $z = 4 + 0i$.

1. Найдём модуль и аргумент числа $z=4$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$.
Аргумент: $\phi = \arg(z) = 0$, так как число является действительным и положительным.
Тригонометрическая форма: $z = 4(\cos(0) + i\sin(0))$.

2. Применим формулу Муавра для $n=4, r=4, \phi=0$.
$w_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{2}\right) \right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

3. Вычислим значения для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}(\cos(0) + i\sin(0)) = \sqrt{2}(1 + 0i) = \sqrt{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = \sqrt{2}(0 + i) = i\sqrt{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = \sqrt{2}(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = \sqrt{2}(-1 + 0i) = -\sqrt{2}$.
• При $k=3$: $w_3 = \sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = \sqrt{2}(0 - i) = -i\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$.

2) $\sqrt[3]{i}$

Найдём все значения корня 3-й степени из числа $i$. Это комплексное число $z = 0 + 1i$.

1. Найдём модуль и аргумент числа $z=i$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$.
Аргумент: $\phi = \arg(z) = \frac{\pi}{2}$, так как число лежит на положительной мнимой полуоси.
Тригонометрическая форма: $z = 1\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

2. Применим формулу Муавра для $n=3, r=1, \phi=\frac{\pi}{2}$.
$w_k = \sqrt[3]{1} \left( \cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3}\right) \right) = \cos\left(\frac{\pi + 4\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi k}{6}\right)$ для $k=0, 1, 2$.

3. Вычислим значения для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = \cos\left(\frac{9\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 - i = -i$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, -i$.

3) $\sqrt[6]{1}$

Найдём все значения корня 6-й степени из 1 (корни из единицы).

1. Представим число $z=1$ в тригонометрической форме.
Модуль: $r = |z| = 1$.
Аргумент: $\phi = \arg(z) = 0$.
Тригонометрическая форма: $z = 1(\cos(0) + i\sin(0))$.

2. Применим формулу Муавра для $n=6, r=1, \phi=0$.
$w_k = \sqrt[6]{1} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{6}\right) \right) = \cos\left(\frac{\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{3}\right)$ для $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$.

3. Вычислим значения для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.
• При $k=1$: $w_1 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• При $k=3$: $w_3 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.
• При $k=4$: $w_4 = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• При $k=5$: $w_5 = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1, \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -1, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) $\sqrt[4]{-2+2i\sqrt{3}}$

Найдём все значения корня 4-й степени из числа $z = -2 + 2i\sqrt{3}$.

1. Найдём модуль и аргумент числа $z$.
Модуль: $r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{16} = 4$.
Для нахождения аргумента $\phi$ имеем: $\cos\phi = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $\sin\phi = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Точка находится во второй координатной четверти, следовательно, $\phi = \frac{2\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = 4\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)$.

2. Применим формулу Муавра для $n=4, r=4, \phi=\frac{2\pi}{3}$.
$w_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos\left(\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi(1 + 3k)}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi(1 + 3k)}{6}\right) \right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

3. Вычислим значения для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• При $k=1$: $w_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{4\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
• При $k=2$: $w_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• При $k=3$: $w_3 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{10\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{10\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.

678. Решить уравнение:

1) $z^2 = -16i$;

2) $z^2 = 8 + 6i$;

3) $z^3 = -125$;

4) $z^4 = 16i$;

5) $z^3 - 1 = i$;

6) $z^5 - 1 - i\sqrt{3} = 0.$

1) $z^2 = -16i$

Для решения уравнения представим комплексное число $-16i$ в тригонометрической форме.
Модуль числа $r = |-16i| = \sqrt{0^2 + (-16)^2} = 16$.
Аргумент $\phi$ находим из условий $\cos\phi = 0$ и $\sin\phi = -1$. Отсюда $\phi = -\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, $-16i = 16(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.
Корни уравнения $z^2 = w$ находятся по формуле Муавра для корней n-й степени:
$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.
В нашем случае $n=2$, $r=16$, $\phi = -\frac{\pi}{2}$.
$z_k = \sqrt{16} \left( \cos\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} \right)$, для $k = 0, 1$.

При $k=0$:
$z_0 = 4 \left( \cos\frac{-\pi/2}{2} + i\sin\frac{-\pi/2}{2} \right) = 4 \left( \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) \right) = 4 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$.

При $k=1$:
$z_1 = 4 \left( \cos\frac{-\pi/2 + 2\pi}{2} + i\sin\frac{-\pi/2 + 2\pi}{2} \right) = 4 \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = 4 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$.

Ответ: $z_1 = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$, $z_2 = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$.

2) $z^2 = 8 + 6i$

Представим $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$. Тогда $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
1) $x^2 - y^2 = 8$
2) $2xy = 6 \implies xy = 3$
Также, $|z^2| = |z|^2 = x^2 + y^2$. Модуль $|8 + 6i| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
Получаем третье уравнение:
3) $x^2 + y^2 = 10$
Сложим уравнения (1) и (3):
$(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 8 + 10 \implies 2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Вычтем уравнение (1) из (3):
$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 10 - 8 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
Из уравнения (2) $xy=3$ следует, что $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.
Если $x=3$, то $y=1$. Получаем корень $z_1 = 3 + i$.
Если $x=-3$, то $y=-1$. Получаем корень $z_2 = -3 - i$.

Ответ: $z_1 = 3 + i$, $z_2 = -3 - i$.

3) $z^3 = -125$

Представим число $-125$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |-125| = 125$.
Аргумент $\phi$ находим из $\cos\phi = -1$, $\sin\phi = 0$. Отсюда $\phi = \pi$.
$-125 = 125(\cos\pi + i\sin\pi)$.
Используем формулу Муавра для корней $n=3$-й степени:
$z_k = \sqrt[3]{125} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{3} \right)$, для $k=0, 1, 2$.

При $k=0$:
$z_0 = 5 \left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) = 5 \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5}{2} + i\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

При $k=1$:
$z_1 = 5 \left( \cos\frac{\pi + 2\pi}{3} + i\sin\frac{\pi + 2\pi}{3} \right) = 5(\cos\pi + i\sin\pi) = 5(-1) = -5$.

При $k=2$:
$z_2 = 5 \left( \cos\frac{\pi + 4\pi}{3} + i\sin\frac{\pi + 4\pi}{3} \right) = 5 \left( \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} \right) = 5 \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5}{2} - i\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $z_1 = -5$, $z_2 = \frac{5}{2} + i\frac{5\sqrt{3}}{2}$, $z_3 = \frac{5}{2} - i\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

4) $z^4 = 16i$

Представим число $16i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |16i| = 16$.
Аргумент $\phi$ находим из $\cos\phi = 0$, $\sin\phi = 1$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{2}$.
$16i = 16(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.
Используем формулу Муавра для корней $n=4$-й степени:
$z_k = \sqrt[4]{16} \left( \cos\frac{\pi/2 + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{\pi/2 + 2\pi k}{4} \right) = 2 \left( \cos\frac{\pi(1 + 4k)}{8} + i\sin\frac{\pi(1 + 4k)}{8} \right)$, для $k = 0, 1, 2, 3$.

При $k=0$: $z_0 = 2 \left( \cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \right)$.
Используя формулы половинного угла: $\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.
$z_0 = 2 \left( \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right) = \sqrt{2+\sqrt{2}} + i\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

При $k=1$: $z_1 = 2 \left( \cos\frac{5\pi}{8} + i\sin\frac{5\pi}{8} \right)$.
$\cos\frac{5\pi}{8} = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$, $\sin\frac{5\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.
$z_1 = 2 \left( -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \right) = -\sqrt{2-\sqrt{2}} + i\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

При $k=2$: $z_2 = 2 \left( \cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8} \right) = -z_0 = -\sqrt{2+\sqrt{2}} - i\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

При $k=3$: $z_3 = 2 \left( \cos\frac{13\pi}{8} + i\sin\frac{13\pi}{8} \right) = -z_1 = \sqrt{2-\sqrt{2}} - i\sqrt{2+\sqrt{2}}$.

Ответ: $z = \pm(\sqrt{2+\sqrt{2}} + i\sqrt{2-\sqrt{2}})$, $z = \pm(-\sqrt{2-\sqrt{2}} + i\sqrt{2+\sqrt{2}})$.

5) $z^3 - 1 = i$

Перепишем уравнение как $z^3 = 1+i$.
Представим число $1+i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Аргумент $\phi$ находим из $\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{4}$.
$1+i = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$.
Используем формулу Муавра для корней $n=3$-й степени:
$z_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}} \left( \cos\frac{\pi/4 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi/4 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi(1 + 8k)}{12} + i\sin\frac{\pi(1 + 8k)}{12} \right)$, для $k = 0, 1, 2$.

При $k=0$: $z_0 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right)$.

При $k=1$: $z_1 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{9\pi}{12} + i\sin\frac{9\pi}{12} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt[6]{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2^{1/6} \cdot 2^{1/2} \cdot \frac{-1+i}{2} = 2^{1/6+1/2-1}(-1+i) = 2^{-1/3}(-1+i) = \frac{-1+i}{\sqrt[3]{2}}$.

При $k=2$: $z_2 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{17\pi}{12} + i\sin\frac{17\pi}{12} \right)$.

Ответ: $z_0 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right)$, $z_1 = \frac{-1+i}{\sqrt[3]{2}}$, $z_2 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{17\pi}{12} + i\sin\frac{17\pi}{12} \right)$.

6) $z^5 - 1 - i\sqrt{3} = 0$

Перепишем уравнение как $z^5 = 1+i\sqrt{3}$.
Представим число $1+i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.
Аргумент $\phi$ находим из $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$1+i\sqrt{3} = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.
Используем формулу Муавра для корней $n=5$-й степени:
$z_k = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{\pi/3 + 2\pi k}{5} + i\sin\frac{\pi/3 + 2\pi k}{5} \right) = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{\pi(1 + 6k)}{15} + i\sin\frac{\pi(1 + 6k)}{15} \right)$, для $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Корни уравнения:
$k=0: z_0 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{\pi}{15} + i\sin\frac{\pi}{15} \right)$
$k=1: z_1 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{7\pi}{15} + i\sin\frac{7\pi}{15} \right)$
$k=2: z_2 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{13\pi}{15} + i\sin\frac{13\pi}{15} \right)$
$k=3: z_3 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{19\pi}{15} + i\sin\frac{19\pi}{15} \right)$
$k=4: z_4 = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{25\pi}{15} + i\sin\frac{25\pi}{15} \right) = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} \right) = \sqrt[5]{2} \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

Ответ: $z_k = \sqrt[5]{2} \left( \cos\frac{\pi(1 + 6k)}{15} + i\sin\frac{\pi(1 + 6k)}{15} \right)$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$.

679. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1) $z = (\text{tg } 2 - i)^4$;

2) $z = \left(\sin \frac{6\pi}{5} + i \left(1 + \cos \frac{6\pi}{5}\right)\right)^5$

1)

Запишем комплексное число $z = (\text{tg} 2 - i)^4$ в тригонометрической форме. Сначала представим в тригонометрической форме основание степени $w = \text{tg} 2 - i$.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r$ – модуль, а $\varphi$ – аргумент.

Найдем модуль числа $w$:

$r = |w| = \sqrt{(\text{tg} 2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\text{tg}^2 2 + 1}$.

Используя тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, получаем:

$r = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 2}} = \frac{1}{|\cos 2|}$.

Угол 2 радиана находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому $\cos 2 < 0$ и $|\cos 2| = -\cos 2$.

Следовательно, модуль $r = \frac{1}{-\cos 2}$.

Теперь найдем аргумент $\varphi = \arg(w)$. Действительная часть $x = \text{tg} 2 < 0$ (тангенс во второй четверти отрицателен), мнимая часть $y = -1 < 0$. Значит, число $w$ находится в третьей четверти комплексной плоскости.

$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{\text{tg} 2}{1/(-\cos 2)} = \text{tg} 2 \cdot (-\cos 2) = -\frac{\sin 2}{\cos 2} \cos 2 = -\sin 2$.

$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{1/(-\cos 2)} = \cos 2$.

Нам нужно найти угол $\varphi$, для которого $\cos \varphi = -\sin 2$ и $\sin \varphi = \cos 2$. Используя формулы приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin \alpha$ и $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha$, при $\alpha=2$ получаем, что $\varphi = 2 + \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа $w$:

$w = \frac{1}{-\cos 2} \left(\cos\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Теперь возведем $w$ в 4-ю степень, используя формулу Муавра $[r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$:

$z = w^4 = \left(\frac{1}{-\cos 2}\right)^4 \left(\cos\left(4\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)\right) + i \sin\left(4\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)$.

Модуль числа $z$ равен $|z| = \frac{1}{\cos^4 2}$.

Аргумент числа $z$ равен $\arg(z) = 4\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) = 8 + 2\pi$. Так как тригонометрические функции имеют период $2\pi$, аргумент можно взять равным 8.

В итоге получаем:

$z = \frac{1}{\cos^4 2}(\cos 8 + i \sin 8)$.

Ответ: $z = \frac{1}{\cos^4 2}(\cos 8 + i \sin 8)$.

2)

Запишем комплексное число $z = \left(\sin\frac{6\pi}{5} + i\left(1 + \cos\frac{6\pi}{5}\right)\right)^5$ в тригонометрической форме. Обозначим основание степени как $w = \sin\frac{6\pi}{5} + i\left(1 + \cos\frac{6\pi}{5}\right)$.

Применим формулы двойного угла (или половинного, если смотреть наоборот): $\sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$ и $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2(\alpha/2)$. Пусть $\alpha = \frac{6\pi}{5}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{3\pi}{5}$.

$w = \left(2 \sin\frac{3\pi}{5} \cos\frac{3\pi}{5}\right) + i\left(2 \cos^2\frac{3\pi}{5}\right)$.

Вынесем общий множитель $2 \cos\frac{3\pi}{5}$:

$w = 2 \cos\frac{3\pi}{5} \left(\sin\frac{3\pi}{5} + i \cos\frac{3\pi}{5}\right)$.

Для нахождения модуля и аргумента $w$ определим знак $2\cos\frac{3\pi}{5}$. Угол $\frac{3\pi}{5}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi$), где косинус отрицателен. Значит, $2 \cos\frac{3\pi}{5} < 0$.

Модуль числа $w$ равен $|w| = \sqrt{(\sin\frac{6\pi}{5})^2 + (1 + \cos\frac{6\pi}{5})^2} = \sqrt{\sin^2\frac{6\pi}{5} + 1 + 2\cos\frac{6\pi}{5} + \cos^2\frac{6\pi}{5}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{6\pi}{5}} = \sqrt{4\cos^2\frac{3\pi}{5}} = 2\left|\cos\frac{3\pi}{5}\right| = -2\cos\frac{3\pi}{5}$.

Найдем аргумент $\varphi = \arg(w)$.

$\cos \varphi = \frac{\text{Re}(w)}{|w|} = \frac{\sin(6\pi/5)}{-2\cos(3\pi/5)} = \frac{2\sin(3\pi/5)\cos(3\pi/5)}{-2\cos(3\pi/5)} = -\sin\frac{3\pi}{5}$.

$\sin \varphi = \frac{\text{Im}(w)}{|w|} = \frac{1+\cos(6\pi/5)}{-2\cos(3\pi/5)} = \frac{2\cos^2(3\pi/5)}{-2\cos(3\pi/5)} = -\cos\frac{3\pi}{5}$.

Используя формулы приведения, $\sin\frac{3\pi}{5} = \sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{10}) = \cos\frac{\pi}{10}$ и $\cos\frac{3\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{10}) = -\sin\frac{\pi}{10}$.

Тогда $\cos\varphi = -\cos\frac{\pi}{10}$ и $\sin\varphi = -(-\sin\frac{\pi}{10}) = \sin\frac{\pi}{10}$.

Такая система уравнений соответствует углу во второй четверти: $\varphi = \pi - \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$.

Тригонометрическая форма $w$:

$w = -2\cos\frac{3\pi}{5}\left(\cos\frac{9\pi}{10} + i\sin\frac{9\pi}{10}\right)$.

Теперь возведем $w$ в 5-ю степень по формуле Муавра:

$z = w^5 = \left(-2\cos\frac{3\pi}{5}\right)^5 \left(\cos\left(5 \cdot \frac{9\pi}{10}\right) + i\sin\left(5 \cdot \frac{9\pi}{10}\right)\right)$.

Модуль $|z| = \left(-2\cos\frac{3\pi}{5}\right)^5 = -32\cos^5\frac{3\pi}{5}$.

Аргумент $\arg(z) = 5 \cdot \frac{9\pi}{10} = \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Аргумент можно взять равным $\frac{\pi}{2}$.

Итоговая тригонометрическая форма для $z$:

$z = -32\cos^5\frac{3\pi}{5} \left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$.

Ответ: $z = -32\cos^5\frac{3\pi}{5}\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$.

680. Найти корни уравнения

$z^{10} - z^5 - 992 = 0$,

действительные части которых отрицательны.

Данное уравнение $z^{10} - z^5 - 992 = 0$ является квадратным относительно $z^5$. Выполним замену переменной. Пусть $w = z^5$. Тогда уравнение принимает вид:

$w^2 - w - 992 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-992) = 1 + 3968 = 3969$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3969} = 63$.

Находим значения для $w$:

$w_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 63}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$w_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 63}{2} = \frac{-62}{2} = -31$

Теперь необходимо решить два уравнения для $z$:

1) $z^5 = 32$

2) $z^5 = -31$

Для нахождения корней будем использовать формулу Муавра для корней n-ой степени из комплексного числа $c = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$:

$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

Действительная часть корня, $\operatorname{Re}(z_k)$, должна быть отрицательной.

1. Решение уравнения $z^5 = 32$

Представим число 32 в тригонометрической форме. Модуль $r = 32$, аргумент $\varphi = 0$.

$32 = 32(\cos(0) + i \sin(0))$

Корни находятся по формуле:

$z_k = \sqrt[5]{32} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{5} + i \sin\frac{0 + 2\pi k}{5} \right) = 2 \left( \cos\frac{2\pi k}{5} + i \sin\frac{2\pi k}{5} \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Действительная часть корня равна $\operatorname{Re}(z_k) = 2 \cos\frac{2\pi k}{5}$. Она будет отрицательной, если $\cos\frac{2\pi k}{5} < 0$.

Это условие выполняется для углов, находящихся во II и III координатных четвертях, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi k}{5} < \frac{3\pi}{2}$.

Разделив неравенство на $\pi$ и умножив на $\frac{5}{2}$, получим: $\frac{5}{4} < k < \frac{15}{4}$, то есть $1.25 < k < 3.75$.

Целые значения $k$ из этого интервала: $k=2$ и $k=3$.

При $k=2$: $z_1 = 2 \left( \cos\frac{4\pi}{5} + i \sin\frac{4\pi}{5} \right)$.

При $k=3$: $z_2 = 2 \left( \cos\frac{6\pi}{5} + i \sin\frac{6\pi}{5} \right)$.

2. Решение уравнения $z^5 = -31$

Представим число -31 в тригонометрической форме. Модуль $r = 31$, аргумент $\varphi = \pi$.

$-31 = 31(\cos(\pi) + i \sin(\pi))$

Корни находятся по формуле:

$z_k = \sqrt[5]{31} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{5} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{5} \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Действительная часть корня $\operatorname{Re}(z_k) = \sqrt[5]{31} \cos\frac{\pi(1+2k)}{5}$ должна быть отрицательной, то есть $\cos\frac{\pi(1+2k)}{5} < 0$.

Условие выполняется, когда угол $\frac{\pi(1+2k)}{5}$ находится во II и III четвертях: $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi(1+2k)}{5} < \frac{3\pi}{2}$.

Упрощая неравенство: $\frac{1}{2} < \frac{1+2k}{5} < \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} < 1+2k < \frac{15}{2} \Rightarrow 1.5 < 2k < 6.5 \Rightarrow 0.75 < k < 3.25$.

Целые значения $k$ из этого интервала: $k=1, 2, 3$.

При $k=1$: $z_3 = \sqrt[5]{31} \left( \cos\frac{3\pi}{5} + i \sin\frac{3\pi}{5} \right)$.

При $k=2$: $z_4 = \sqrt[5]{31} \left( \cos\frac{5\pi}{5} + i \sin\frac{5\pi}{5} \right) = \sqrt[5]{31}(\cos\pi + i\sin\pi) = -\sqrt[5]{31}$.

При $k=3$: $z_5 = \sqrt[5]{31} \left( \cos\frac{7\pi}{5} + i \sin\frac{7\pi}{5} \right)$.

Таким образом, мы нашли 5 корней исходного уравнения, действительные части которых отрицательны.

Ответ: $2\left(\cos\frac{4\pi}{5} + i\sin\frac{4\pi}{5}\right)$, $2\left(\cos\frac{6\pi}{5} + i\sin\frac{6\pi}{5}\right)$, $-\sqrt[5]{31}$, $\sqrt[5]{31}\left(\cos\frac{3\pi}{5} + i\sin\frac{3\pi}{5}\right)$, $\sqrt[5]{31}\left(\cos\frac{7\pi}{5} + i\sin\frac{7\pi}{5}\right)$.

681. На комплексной плоскости даны точки $z_1$, $z_2$, $z_3$, являющиеся вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан.

Точки $z_1$, $z_2$, $z_3$ на комплексной плоскости являются вершинами треугольника. Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом. Наша задача — найти комплексное число $z_c$, которое соответствует этой точке.

Рассмотрим медиану, проведенную из вершины $z_1$ к середине противоположной стороны (отрезка, соединяющего точки $z_2$ и $z_3$). Комплексное число, соответствующее середине отрезка с концами в точках $z_2$ и $z_3$, находится как их среднее арифметическое (полусумма):

$z_m = \frac{z_2 + z_3}{2}$

Из геометрии известно, что центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, искомая точка $z_c$ делит отрезок, соединяющий вершину $z_1$ и середину противоположной стороны $z_m$, в отношении 2:1.

Для нахождения комплексного числа $z_c$ воспользуемся формулой для точки, делящей отрезок в заданном отношении. Точка, которая делит отрезок с концами в точках $a$ и $b$ в отношении $k:l$, имеет координату $\frac{l \cdot a + k \cdot b}{k + l}$. В нашем случае $a=z_1$, $b=z_m$, и отношение равно 2:1, то есть $k=2$ и $l=1$.

Подставляя наши значения в формулу, получаем:

$z_c = \frac{1 \cdot z_1 + 2 \cdot z_m}{1 + 2} = \frac{z_1 + 2z_m}{3}$

Теперь подставим в это выражение ранее найденное значение для $z_m$:

$z_c = \frac{z_1 + 2 \cdot \left(\frac{z_2 + z_3}{2}\right)}{3}$

Упростив выражение в числителе, получим окончательную формулу:

$z_c = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$

Таким образом, точка пересечения медиан треугольника на комплексной плоскости соответствует комплексному числу, равному среднему арифметическому комплексных чисел, соответствующих его вершинам.

Ответ: Точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках $z_1$, $z_2$, $z_3$ на комплексной плоскости соответствует комплексному числу $z_c = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$.