Номер 680, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 680, страница 253.

Условие.

680. Найти корни уравнения

$z^{10} - z^5 - 992 = 0$,

действительные части которых отрицательны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данное уравнение $z^{10} - z^5 - 992 = 0$ является квадратным относительно $z^5$. Выполним замену переменной. Пусть $w = z^5$. Тогда уравнение принимает вид:

$w^2 - w - 992 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-992) = 1 + 3968 = 3969$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3969} = 63$.

Находим значения для $w$:

$w_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 63}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$w_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 63}{2} = \frac{-62}{2} = -31$

Теперь необходимо решить два уравнения для $z$:

1) $z^5 = 32$

2) $z^5 = -31$

Для нахождения корней будем использовать формулу Муавра для корней n-ой степени из комплексного числа $c = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$:

$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

Действительная часть корня, $\operatorname{Re}(z_k)$, должна быть отрицательной.

1. Решение уравнения $z^5 = 32$

Представим число 32 в тригонометрической форме. Модуль $r = 32$, аргумент $\varphi = 0$.

$32 = 32(\cos(0) + i \sin(0))$

Корни находятся по формуле:

$z_k = \sqrt[5]{32} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{5} + i \sin\frac{0 + 2\pi k}{5} \right) = 2 \left( \cos\frac{2\pi k}{5} + i \sin\frac{2\pi k}{5} \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Действительная часть корня равна $\operatorname{Re}(z_k) = 2 \cos\frac{2\pi k}{5}$. Она будет отрицательной, если $\cos\frac{2\pi k}{5} < 0$.

Это условие выполняется для углов, находящихся во II и III координатных четвертях, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi k}{5} < \frac{3\pi}{2}$.

Разделив неравенство на $\pi$ и умножив на $\frac{5}{2}$, получим: $\frac{5}{4} < k < \frac{15}{4}$, то есть $1.25 < k < 3.75$.

Целые значения $k$ из этого интервала: $k=2$ и $k=3$.

При $k=2$: $z_1 = 2 \left( \cos\frac{4\pi}{5} + i \sin\frac{4\pi}{5} \right)$.

При $k=3$: $z_2 = 2 \left( \cos\frac{6\pi}{5} + i \sin\frac{6\pi}{5} \right)$.

2. Решение уравнения $z^5 = -31$

Представим число -31 в тригонометрической форме. Модуль $r = 31$, аргумент $\varphi = \pi$.

$-31 = 31(\cos(\pi) + i \sin(\pi))$

Корни находятся по формуле:

$z_k = \sqrt[5]{31} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{5} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{5} \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Действительная часть корня $\operatorname{Re}(z_k) = \sqrt[5]{31} \cos\frac{\pi(1+2k)}{5}$ должна быть отрицательной, то есть $\cos\frac{\pi(1+2k)}{5} < 0$.

Условие выполняется, когда угол $\frac{\pi(1+2k)}{5}$ находится во II и III четвертях: $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi(1+2k)}{5} < \frac{3\pi}{2}$.

Упрощая неравенство: $\frac{1}{2} < \frac{1+2k}{5} < \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} < 1+2k < \frac{15}{2} \Rightarrow 1.5 < 2k < 6.5 \Rightarrow 0.75 < k < 3.25$.

Целые значения $k$ из этого интервала: $k=1, 2, 3$.

При $k=1$: $z_3 = \sqrt[5]{31} \left( \cos\frac{3\pi}{5} + i \sin\frac{3\pi}{5} \right)$.

При $k=2$: $z_4 = \sqrt[5]{31} \left( \cos\frac{5\pi}{5} + i \sin\frac{5\pi}{5} \right) = \sqrt[5]{31}(\cos\pi + i\sin\pi) = -\sqrt[5]{31}$.

При $k=3$: $z_5 = \sqrt[5]{31} \left( \cos\frac{7\pi}{5} + i \sin\frac{7\pi}{5} \right)$.

Таким образом, мы нашли 5 корней исходного уравнения, действительные части которых отрицательны.

Ответ: $2\left(\cos\frac{4\pi}{5} + i\sin\frac{4\pi}{5}\right)$, $2\left(\cos\frac{6\pi}{5} + i\sin\frac{6\pi}{5}\right)$, $-\sqrt[5]{31}$, $\sqrt[5]{31}\left(\cos\frac{3\pi}{5} + i\sin\frac{3\pi}{5}\right)$, $\sqrt[5]{31}\left(\cos\frac{7\pi}{5} + i\sin\frac{7\pi}{5}\right)$.