Номер 2, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 2, страница 254.

Условие.

2. Как производится сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме: $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, где $a, b, c, d$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$.

Сложение
Сложение двух комплексных чисел производится путем почленного сложения их действительных и мнимых частей. Действительная часть суммы равна сумме действительных частей, а мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей.
$z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i$.
Ответ: $z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$.

Вычитание
Вычитание одного комплексного числа из другого производится путем почленного вычитания их действительных и мнимых частей. Из действительной части уменьшаемого вычитается действительная часть вычитаемого, и из мнимой части уменьшаемого вычитается мнимая часть вычитаемого.
$z_1 - z_2 = (a + bi) - (c + di) = a - c + bi - di = (a - c) + (b - d)i$.
Ответ: $z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$.

Умножение
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется как умножение двух двучленов по обычным правилам алгебры с последующей заменой $i^2$ на $-1$ и приведением подобных членов.
$z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = a \cdot c + a \cdot (di) + (bi) \cdot c + (bi) \cdot (di) = ac + adi + bci + bdi^2$.
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i$.
Ответ: $z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$.

Деление
Деление комплексного числа $z_1$ на ненулевое комплексное число $z_2$ (т.е. $z_2 \neq 0$) производится путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным для числа $z_2 = c + di$ является число $\bar{z_2} = c - di$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}$.
В знаменателе получаем произведение комплексного числа на сопряженное ему, что равно сумме квадратов его действительной и мнимой частей: $(c + di)(c - di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 + d^2$.
В числителе, по правилу умножения, получаем: $(a + bi)(c - di) = (ac - b(-d)) + (a(-d) + bc)i = (ac + bd) + (bc - ad)i$.
Объединяя результаты, имеем:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$.
Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$, при $z_2 \neq 0$.