Номер 4, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 4, страница 254.

Условие.

4. Всегда ли выполнима операция умножения комплексных чисел? Всегда ли одно комплексное число можно разделить на другое?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Всегда ли выполнима операция умножения комплексных чисел?
Да, операция умножения комплексных чисел выполнима всегда. Рассмотрим два произвольных комплексных числа в алгебраической форме: $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$).
Произведение этих чисел находится по правилу умножения многочленов:
$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1ia_2 + b_1b_2i^2$
Сгруппируем действительные и мнимые части и учтем, что $i^2 = -1$:
$z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i$
В результате мы получили новое комплексное число $z_3 = a_3 + b_3i$, где его действительная часть $a_3 = a_1a_2 - b_1b_2$ и мнимая часть $b_3 = a_1b_2 + b_1a_2$ являются действительными числами, так как они получены в результате операций сложения, вычитания и умножения действительных чисел $a_1, b_1, a_2, b_2$. Поскольку для любых двух комплексных чисел их произведение всегда является определенным комплексным числом, операция умножения выполнима всегда.
Ответ: Да, операция умножения комплексных чисел выполнима всегда.

Всегда ли одно комплексное число можно разделить на другое?
Нет, не всегда. Операция деления комплексного числа $z_1$ на $z_2$ выполнима только в том случае, если делитель $z_2$ не равен нулю.
Рассмотрим деление двух комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$. Чтобы выполнить деление, нужно найти такое число $z_3$, что $z_1 = z_2 \cdot z_3$. Практически деление выполняется путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженное к $z_2 = a_2 + b_2i$ есть число $\bar{z_2} = a_2 - b_2i$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)}$
Вычислим знаменатель:
$(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i) = a_2^2 - (b_2i)^2 = a_2^2 - b_2^2i^2 = a_2^2 + b_2^2$
Вычислим числитель:
$(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i) = (a_1a_2 + b_1b_2) + (b_1a_2 - a_1b_2)i$
Тогда частное равно:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i \frac{b_1a_2 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}$
Эта формула имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю: $a_2^2 + b_2^2 \neq 0$. Так как $a_2$ и $b_2$ — действительные числа, $a_2^2 \geq 0$ и $b_2^2 \geq 0$. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю, то есть $a_2=0$ и $b_2=0$. Это означает, что делитель $z_2 = 0 + 0i = 0$.
Таким образом, деление на любое комплексное число, кроме нуля, всегда выполнимо. Деление на ноль в комплексных числах, как и в действительных, не определено.
Ответ: Нет, не всегда. Одно комплексное число можно разделить на другое, только если делитель не равен нулю ($z_2 \neq 0$).