Номер 11, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 11, страница 254.

Условие.

11. В чём состоит геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Каждому комплексному числу $z = x + iy$ можно поставить в соответствие точку $M(x, y)$ на координатной плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс ($Ox$) называется действительной осью, а ось ординат ($Oy$) — мнимой осью. Число $z$ также можно представить в виде радиус-вектора, проведенного из начала координат $O(0, 0)$ в точку $M(x, y)$.

Модуль комплексного числа, обозначаемый как $|z|$, представляет собой длину этого радиус-вектора, то есть расстояние от начала координат до точки $M$. По теореме Пифагора, модуль вычисляется по формуле: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Теперь рассмотрим два комплексных числа, $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$. На комплексной плоскости им соответствуют две точки: $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2)$.

Разность этих двух чисел — это новое комплексное число:

$z_1 - z_2 = (x_1 + iy_1) - (x_2 + iy_2) = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)$

Найдем модуль этой разности, используя определение модуля:

$|z_1 - z_2| = |(x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

Полученное выражение является стандартной формулой для вычисления расстояния между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ в декартовой системе координат.

Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ геометрически равен расстоянию между точками, которые представляют эти числа на комплексной плоскости.

В векторной интерпретации, разность $z_1 - z_2$ соответствует вектору $\vec{BA}$, который начинается в точке $B(z_2)$ и заканчивается в точке $A(z_1)$. Тогда модуль разности $|z_1 - z_2|$ — это длина этого вектора.

Ответ: Геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел $|z_1 - z_2|$ заключается в том, что он равен расстоянию между точками на комплексной плоскости, соответствующими этим числам.