Номер 13, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Вопросы к главе VII - номер 13, страница 254.

Условие.

13. Как записываются комплексные числа в тригонометрической форме?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Любое ненулевое комплексное число $z = a + bi$, заданное в алгебраической форме, можно представить в тригонометрической форме. Эта форма записи использует полярные координаты точки $(a, b)$ на комплексной плоскости. Для перехода к тригонометрической форме необходимо определить модуль и аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа, обозначаемый как $r$ или $|z|$, — это расстояние от начала координат до точки $(a, b)$. Он вычисляется по формуле:
$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Аргумент комплексного числа, обозначаемый как $\phi$ (фи), — это угол, образованный вектором, идущим из начала координат в точку $(a, b)$, и положительным направлением действительной оси. Аргумент находится из соотношений:
$\cos \phi = \frac{a}{r}$
$\sin \phi = \frac{b}{r}$

Используя эти определения, можно выразить действительную и мнимую части числа через модуль и аргумент:
$a = r \cos \phi$
$b = r \sin \phi$

Подставляя эти выражения в алгебраическую форму $z = a + bi$, получаем:
$z = r \cos \phi + i(r \sin \phi)$
Вынеся $r$ за скобки, мы приходим к искомой тригонометрической форме.

Ответ: Комплексные числа в тригонометрической форме записываются по формуле: $z = r(\cos \phi + i\sin \phi)$, где $r$ — модуль комплексного числа, а $\phi$ — его аргумент.