Номер 7, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 7, страница 254.

Условие.

7. Какое число называют противоположным комплексному числу $a + bi$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Противоположным комплексному числу $z = a + bi$ (где $a$ и $b$ – действительные числа, $i$ – мнимая единица) называется такое комплексное число $-z$, которое при сложении с исходным числом $z$ дает в результате ноль. Это число также называют аддитивно обратным.

Основное свойство, определяющее противоположное число, выражается равенством:

$z + (-z) = 0$

Чтобы найти явный вид этого числа для $z = a + bi$, обозначим искомое противоположное число как $x + yi$. Подставим их в определяющее равенство:

$(a + bi) + (x + yi) = 0$

Согласно правилу сложения комплексных чисел, мы складываем их действительные и мнимые части по отдельности:

$(a + x) + (b + y)i = 0$

Число ноль в комплексной форме записывается как $0 + 0i$. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части соответственно. Это позволяет нам составить систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} a + x = 0 \\ b + y = 0 \end{cases} $

Решая данную систему относительно $x$ и $y$, получаем:

$x = -a$

$y = -b$

Таким образом, противоположным для комплексного числа $a + bi$ является число $-a + (-b)i$, что обычно записывается как $-a - bi$. Оно получается путем изменения знаков у действительной и мнимой частей исходного числа.

Например, для числа $z = 2 - 7i$ противоположным будет число $-z = -2 + 7i$. Их сумма: $(2 - 7i) + (-2 + 7i) = (2-2) + (-7+7)i = 0 + 0i = 0$.

Геометрически на комплексной плоскости число $-z$ является точкой, симметричной точке $z$ относительно начала координат $(0, 0)$.

Ответ: Противоположным комплексному числу $a + bi$ называют число $-a - bi$.