Номер 3, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 3, страница 254.

Условие.

3. Какими свойствами обладают сложение и умножение комплексных чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают рядом свойств, которые полностью аналогичны свойствам этих операций для действительных чисел. Совокупность этих свойств означает, что множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ вместе с операциями сложения и умножения образует алгебраическую структуру, называемую полем.

Рассмотрим эти свойства подробно для произвольных комплексных чисел $z_1, z_2, z_3$.

Свойства сложения

1. Коммутативность (переместительный закон): Сумма не меняется от перемены мест слагаемых.
$z_1 + z_2 = z_2 + z_1$

2. Ассоциативность (сочетательный закон): При сложении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке.
$(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$

3. Существование нейтрального элемента (нуля): Существует комплексное число $0 = 0 + 0i$, прибавление которого к любому комплексному числу $z$ не изменяет его.
$z + 0 = z$

4. Существование противоположного элемента: Для любого комплексного числа $z = a + bi$ существует противоположное ему число $-z = -a - bi$, такое, что их сумма равна нулю.
$z + (-z) = 0$

Свойства умножения

1. Коммутативность (переместительный закон): Произведение не меняется от перемены мест множителей.
$z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$

2. Ассоциативность (сочетательный закон): При умножении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке.
$(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$

3. Существование нейтрального элемента (единицы): Существует комплексное число $1 = 1 + 0i$, умножение на которое любого комплексного числа $z$ не изменяет его.
$z \cdot 1 = z$

4. Существование обратного элемента: Для любого ненулевого комплексного числа $z \neq 0$ существует обратное ему число $z^{-1}$, такое, что их произведение равно единице. Если $z = a + bi$, то $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{a}{a^2+b^2} - i\frac{b}{a^2+b^2}$.
$z \cdot z^{-1} = 1$

Свойство, связывающее сложение и умножение

1. Дистрибутивность (распределительный закон): Умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть можно "раскрывать скобки".
$z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$

Ответ: Сложение и умножение комплексных чисел обладают свойствами коммутативности (переместительности), ассоциативности (сочетательности), для обеих операций существуют нейтральные элементы (ноль для сложения, единица для умножения) и обратные элементы (противоположное число для сложения, обратное число для умножения любого ненулевого числа). Также умножение является дистрибутивным по отношению к сложению. Все эти свойства вместе означают, что комплексные числа образуют поле.