Страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

15. Что называется корнем степени $n (n > 1, n \in N)$ из комплексного числа?

Корнем степени $n$ (где $n > 1, n \in \mathbb{N}$) из комплексного числа $z$ называется любое комплексное число $w$, которое удовлетворяет уравнению $w^n = z$.

Для нахождения всех корней $n$-ой степени из комплексного числа $z$ его удобнее всего представить в тригонометрической или показательной форме. Пусть дано ненулевое комплексное число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — модуль числа $z$, а $\varphi = \arg(z)$ — один из его аргументов.

Искомый корень $w$ также будем искать в тригонометрической форме: $w = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$, где $\rho = |w|$ — модуль корня, а $\theta = \arg(w)$ — его аргумент.

По определению корня, должно выполняться равенство $w^n = z$. Возведем $w$ в степень $n$ по формуле Муавра: $w^n = \rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$.

Теперь приравняем выражения для $w^n$ и $z$: $\rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а их аргументы отличаются на величину, кратную $2\pi$. Это позволяет составить систему уравнений для нахождения $\rho$ и $\theta$: $$ \begin{cases} \rho^n = r \\ n\theta = \varphi + 2\pi k \end{cases} $$ где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Решая эту систему, находим модуль и аргумент для корня $w$: $\rho = \sqrt[n]{r} = \sqrt[n]{|z|}$ (здесь $\sqrt[n]{r}$ — это арифметический корень, то есть положительное действительное число). $\theta_k = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}$.

Придавая $k$ последовательные целые значения $0, 1, 2, \dots, n-1$, мы получаем ровно $n$ различных значений для аргумента $\theta_k$, и, следовательно, $n$ различных корней. При других целых значениях $k$ значения корней начинают повторяться, поскольку их аргументы будут отличаться на $2\pi$ (например, значение для $k=n$ совпадает со значением для $k=0$).

Таким образом, для любого ненулевого комплексного числа $z$ существует ровно $n$ различных корней $n$-ой степени. Все они вычисляются по формуле: $w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

В показательной форме, если $z = re^{i\varphi}$, то формула для корней выглядит так: $w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\varphi + 2\pi k}{n}}$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Геометрически все $n$ корней $n$-ой степени из комплексного числа $z$ лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $\rho = \sqrt[n]{|z|}$ и являются вершинами правильного $n$-угольника.

Ответ: Корнем степени $n$ ($n>1, n \in \mathbb{N}$) из комплексного числа $z$ называется такое комплексное число $w$, для которого выполняется равенство $w^n = z$. Для любого ненулевого комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ существует ровно $n$ различных корней, которые находятся по формуле $w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k$ принимает целые значения от $0$ до $n-1$.

16. Как производится умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?

Арифметические операции над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент, производятся по определенным правилам, которые значительно упрощают вычисления по сравнению с алгебраической формой.

Рассмотрим два комплексных числа: $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$.

Умножение

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Ответ: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$

Деление

При делении одного комплексного числа на другое (при условии, что делитель не равен нулю) их модули делятся, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя.

Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$

Возведение в степень

Возведение комплексного числа в натуральную степень $n$ осуществляется по формуле Муавра. Модуль числа возводится в степень $n$, а аргумент умножается на $n$. Эта формула является следствием правила умножения.

Ответ: $z^n = [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$

Извлечение корня

Корень $n$-ой степени из комплексного числа имеет ровно $n$ различных значений. Все эти корни имеют одинаковый модуль, равный арифметическому корню $n$-ой степени из модуля исходного числа. Аргументы этих корней находятся по специальной формуле.

Для нахождения всех $n$ значений корня используется формула, где $k$ принимает целые значения от $0$ до $n-1$.

Ответ: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

17. Сформулировать основную теорему алгебры и следствие из неё об алгебраическом уравнении $n$-й степени $(n \geq 1)$.

Основная теорема алгебры (также известная как теорема д'Аламбера — Гаусса) утверждает, что любой многочлен (полином) $P_n(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0$ степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами ($a_k \in \mathbb{C}, a_n \neq 0$) имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Это означает, что существует такое комплексное число $z_0 \in \mathbb{C}$, для которого выполняется равенство $P_n(z_0) = 0$. Другая формулировка теоремы гласит, что поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ является алгебраически замкнутым.

Ответ: Всякий многочлен от одной переменной степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Из основной теоремы алгебры, применяя ее последовательно, можно вывести важное следствие. Если многочлен $P_n(z)$ степени $n \ge 1$ имеет корень $z_1$, то по теореме Безу он делится на $(z - z_1)$, то есть $P_n(z) = (z - z_1)Q_{n-1}(z)$, где $Q_{n-1}(z)$ — многочлен степени $n-1$. Применяя к $Q_{n-1}(z)$ основную теорему алгебры, находим его корень $z_2$, и так далее. Повторив эту процедуру $n$ раз, мы представим многочлен в виде произведения $n$ линейных множителей и старшего коэффициента: $P_n(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\dots(z - z_n)$. Числа $z_1, z_2, \dots, z_n$ являются корнями многочлена $P_n(z)$, и некоторые из них могут быть равными. Количество равных корней определяет кратность корня. Таким образом, алгебраическое уравнение $P_n(z) = 0$ имеет ровно $n$ комплексных корней с учетом их кратности.

Ответ: Любое алгебраическое уравнение n-й степени ($n \ge 1$) с комплексными коэффициентами имеет в поле комплексных чисел ровно $n$ корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

1. Выполнить действия:

1) $(3 + i) + (5 - 2i);$

2) $(6 - i) - (2 + 3i);$

3) $(7 + i) (10 - i);$

4) $\frac{5 - 2i}{7 + 3i}$

1) Для сложения комплексных чисел $(3 + i)$ и $(5 - 2i)$ необходимо сложить их действительные и мнимые части по отдельности. Правило сложения: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$.
Складываем действительные части: $3 + 5 = 8$.
Складываем мнимые части: $i + (-2i) = (1 - 2)i = -i$.
В результате получаем: $8 - i$.
Ответ: $8 - i$

2) Для вычитания комплексных чисел $(6 - i) - (2 + 3i)$ необходимо вычесть действительные и мнимые части по отдельности. Правило вычитания: $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$.
Вычитаем действительные части: $6 - 2 = 4$.
Вычитаем мнимые части: $-i - 3i = (-1 - 3)i = -4i$.
В результате получаем: $4 - 4i$.
Ответ: $4 - 4i$

3) Для умножения комплексных чисел $(7 + i)$ и $(10 - i)$ используем правило перемножения двучленов (раскрываем скобки), учитывая, что мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ ($i^2 = -1$).
$(7 + i)(10 - i) = 7 \cdot 10 - 7 \cdot i + i \cdot 10 - i \cdot i = 70 - 7i + 10i - i^2$.
Заменяем $i^2$ на $-1$: $70 - 7i + 10i - (-1)$.
Группируем действительные и мнимые части: $(70 + 1) + (-7 + 10)i = 71 + 3i$.
Ответ: $71 + 3i$

4) Для деления комплексных чисел $\frac{5 - 2i}{7 + 3i}$ необходимо умножить числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженное к $7 + 3i$ есть $7 - 3i$.
$\frac{5 - 2i}{7 + 3i} = \frac{(5 - 2i)(7 - 3i)}{(7 + 3i)(7 - 3i)}$.
Вычисляем числитель:
$(5 - 2i)(7 - 3i) = 5 \cdot 7 - 5 \cdot 3i - 2i \cdot 7 + (-2i)(-3i) = 35 - 15i - 14i + 6i^2$.
Так как $i^2 = -1$, получаем: $35 - 29i + 6(-1) = 35 - 29i - 6 = 29 - 29i$.
Вычисляем знаменатель, используя формулу $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$:
$(7 + 3i)(7 - 3i) = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$.
Подставляем полученные значения в дробь: $\frac{29 - 29i}{58}$.
Разделяем на действительную и мнимую части и сокращаем: $\frac{29}{58} - \frac{29}{58}i = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

2. Вычислить:

1) $ \frac{2+5i}{2-5i} + \frac{2-5i}{2+5i}; $

2) $ \left(\frac{1+i^{11}}{2-i^{7}}\right)^2. $

1)

Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{2+5i}{2-5i} + \frac{2-5i}{2+5i} $, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $ (2-5i)(2+5i) $. Это произведение комплексно-сопряженных чисел, которое вычисляется по формуле $ (a-bi)(a+bi) = a^2 + b^2 $.

$ (2-5i)(2+5i) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 $.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение в числителе:

$ \frac{2+5i}{2-5i} + \frac{2-5i}{2+5i} = \frac{(2+5i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)} + \frac{(2-5i)(2-5i)}{(2+5i)(2-5i)} = \frac{(2+5i)^2 + (2-5i)^2}{(2-5i)(2+5i)} $.

Вычислим числитель. Для этого раскроем квадраты, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$ (2+5i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5i + (5i)^2 = 4 + 20i + 25i^2 = 4 + 20i - 25 = -21 + 20i $.

$ (2-5i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5i + (5i)^2 = 4 - 20i + 25i^2 = 4 - 20i - 25 = -21 - 20i $.

Теперь сложим полученные выражения:

$ (-21 + 20i) + (-21 - 20i) = -21 - 21 + 20i - 20i = -42 $.

Подставим вычисленные значения числителя и знаменателя в дробь:

$ \frac{-42}{29} $.

Ответ: $ -\frac{42}{29} $.

2)

Для вычисления выражения $ \left( \frac{1+i^{11}}{2-i^7} \right)^2 $ необходимо сначала упростить степени мнимой единицы $ i $, где $ i^2 = -1 $.

Степени мнимой единицы циклически повторяются с периодом 4: $ i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1 $. Чтобы найти значение $ i^n $, можно найти остаток от деления $ n $ на 4.

Вычислим $ i^{11} $: $ 11 = 4 \cdot 2 + 3 $. Следовательно, $ i^{11} = i^3 = -i $.

Вычислим $ i^7 $: $ 7 = 4 \cdot 1 + 3 $. Следовательно, $ i^7 = i^3 = -i $.

Подставим упрощенные степени в исходное выражение:

$ \left( \frac{1+i^{11}}{2-i^7} \right)^2 = \left( \frac{1+(-i)}{2-(-i)} \right)^2 = \left( \frac{1-i}{2+i} \right)^2 $.

Теперь упростим дробь в скобках. Для избавления от мнимой единицы в знаменателе умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $ 2+i $ является $ 2-i $.

$ \frac{1-i}{2+i} = \frac{(1-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} $.

Вычислим произведение в числителе: $ (1-i)(2-i) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot i - i \cdot 2 + (-i)(-i) = 2 - i - 2i + i^2 = 2 - 3i - 1 = 1 - 3i $.

Вычислим произведение в знаменателе: $ (2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5 $.

Таким образом, дробь равна $ \frac{1-3i}{5} $.

Осталось возвести полученное комплексное число в квадрат:

$ \left( \frac{1-3i}{5} \right)^2 = \frac{(1-3i)^2}{5^2} = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3i + (3i)^2}{25} = \frac{1 - 6i + 9i^2}{25} = \frac{1 - 6i - 9}{25} = \frac{-8 - 6i}{25} $.

Результат можно также представить в алгебраической форме: $ -\frac{8}{25} - \frac{6}{25}i $.

Ответ: $ \frac{-8 - 6i}{25} $.

3. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1) $-1 + i\sqrt{3}$;

2) $\sin \frac{\pi}{5} - i\cos \frac{\pi}{5}$.

1)

Комплексное число в алгебраической форме имеет вид $z = x + iy$. В нашем случае $z = -1 + i\sqrt{3}$, где действительная часть $x = -1$, а мнимая часть $y = \sqrt{3}$.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент.

Найдем модуль комплексного числа по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$:
$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем аргумент $\varphi$. Аргумент должен удовлетворять системе уравнений:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-1}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй координатной четверти. Угол, для которого $\cos\varphi = -1/2$ и $\sin\varphi = \sqrt{3}/2$, равен $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем найденные значения $r$ и $\varphi$ в тригонометрическую форму:
$z = 2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$.

Ответ: $2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$.

2)

Дано комплексное число $z = \sin\frac{\pi}{5} - i\cos\frac{\pi}{5}$.
Действительная часть $x = \sin\frac{\pi}{5}$, мнимая часть $y = -\cos\frac{\pi}{5}$.

Сначала найдем модуль числа $r$:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sin\frac{\pi}{5})^2 + (-\cos\frac{\pi}{5})^2} = \sqrt{\sin^2\frac{\pi}{5} + \cos^2\frac{\pi}{5}}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$r = \sqrt{1} = 1$.

Теперь найдем аргумент $\varphi$. Он должен удовлетворять системе:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \sin\frac{\pi}{5}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = -\cos\frac{\pi}{5}$

Чтобы привести эти выражения к стандартному виду, воспользуемся формулами приведения:
$\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$
$\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Применим их к нашей системе:
$\cos\varphi = \sin\frac{\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \cos(\frac{3\pi}{10})$
$\sin\varphi = -\cos\frac{\pi}{5} = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = -\sin(\frac{3\pi}{10})$

Итак, нам нужно найти угол $\varphi$, для которого $\cos\varphi = \cos(\frac{3\pi}{10})$ и $\sin\varphi = -\sin(\frac{3\pi}{10})$.
Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$), получаем:
$\cos\varphi = \cos(-\frac{3\pi}{10})$
$\sin\varphi = \sin(-\frac{3\pi}{10})$
Отсюда следует, что $\varphi = -\frac{3\pi}{10}$.

Подставляем $r=1$ и $\varphi = -\frac{3\pi}{10}$ в тригонометрическую форму:
$z = 1 \cdot (\cos(-\frac{3\pi}{10}) + i\sin(-\frac{3\pi}{10})) = \cos(-\frac{3\pi}{10}) + i\sin(-\frac{3\pi}{10})$.

Ответ: $\cos(-\frac{3\pi}{10}) + i\sin(-\frac{3\pi}{10})$.

4. Решить уравнение:

1) $z^2 + 5 = 0;$

2) $z^2 - 10z + 34 = 0.$

Дано уравнение $z^2 + 5 = 0$.

Перенесем 5 в правую часть уравнения:

$z^2 = -5$

Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, корни уравнения являются комплексными. Используя определение мнимой единицы $i$, где $i^2 = -1$, мы можем записать:

$z^2 = 5i^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$z = \pm \sqrt{5i^2} = \pm i\sqrt{5}$

Ответ: $z = \pm i\sqrt{5}$.

Дано квадратное уравнение $z^2 - 10z + 34 = 0$.

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ для коэффициентов $a=1$, $b=-10$, $c=34$.

Сначала найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 100 - 136 = -36$

Дискриминант отрицателен, поэтому уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Найдем их, используя $\sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot i^2} = 6i$.

Подставим значения в формулу для корней:

$z = \frac{-(-10) \pm 6i}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 6i}{2}$

Разделив почленно, получим два корня:

$z_1 = \frac{10 + 6i}{2} = 5 + 3i$

$z_2 = \frac{10 - 6i}{2} = 5 - 3i$

Ответ: $z_1 = 5 + 3i, z_2 = 5 - 3i$.

5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $|z|=3$.

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ – действительная часть, а $y$ – мнимая часть комплексного числа. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Модуль комплексного числа $|z|$ – это расстояние от начала координат (точки $0+0i$) до точки, изображающей число $z$ на комплексной плоскости. Формула для вычисления модуля:

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Согласно условию задачи, $|z| = 3$. Подставим выражение для модуля в это равенство:

$\sqrt{x^2 + y^2} = 3$

Чтобы избавиться от знака радикала, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + y^2})^2 = 3^2$

$x^2 + y^2 = 9$

Это каноническое уравнение окружности в декартовых координатах. Центр этой окружности находится в начале координат $(0, 0)$, а ее радиус $R$ равен $\sqrt{9} = 3$.

Следовательно, множество точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $|z|=3$, — это все точки, удаленные от начала координат на расстояние 3, то есть окружность с центром в точке $z=0$ и радиусом 3.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, является окружностью с центром в начале координат и радиусом 3. Уравнение этой окружности в координатах $(x, y)$ имеет вид $x^2 + y^2 = 9$.

6. Записать в алгебраической форме комплексное число:

$z = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right).$

Заданное комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где модуль $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Чтобы записать это число в алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть, нужно вычислить значения косинуса и синуса для данного аргумента и затем раскрыть скобки.

Действительная часть $a$ и мнимая часть $b$ вычисляются по формулам:
$a = r \cos\varphi$
$b = r \sin\varphi$

Найдем значения тригонометрических функций для угла $\varphi = \frac{\pi}{4}$:
$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение для $z$:
$z = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Раскроем скобки, умножив модуль на действительную и мнимую части в скобках:
$z = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + i \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Выполним вычисления:
$z = \frac{(\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2} + i \frac{(\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2}$
$z = \frac{2}{4} + i \frac{2}{4}$
$z = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}$

Это и есть алгебраическая форма заданного комплексного числа.

Ответ: $z = \frac{1}{2} + i\frac{1}{2}$.

7. Выполнить действия:

1) $ (\cos 18^\circ + i\sin 18^\circ)(\cos 42^\circ + i\sin 42^\circ) $;

2) $ \frac{9(\cos \frac{7\pi}{3} + i\sin \frac{7\pi}{3})}{18(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3})} $;

3) $ (\sqrt{5}(\cos \frac{\pi}{8} + i\sin \frac{\pi}{8}))^4 $.

1) Для умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$, используется формула, согласно которой их модули перемножаются, а аргументы складываются: $z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.
В данном случае имеем два комплексных числа: $z_1 = \cos 18^\circ + i\sin 18^\circ$ и $z_2 = \cos 42^\circ + i\sin 42^\circ$.
Их модули $r_1 = 1$ и $r_2 = 1$, а аргументы $\varphi_1 = 18^\circ$ и $\varphi_2 = 42^\circ$.
Применяя формулу умножения, получаем:
$(\cos 18^\circ + i\sin 18^\circ)(\cos 42^\circ + i\sin 42^\circ) = 1 \cdot 1 (\cos(18^\circ + 42^\circ) + i\sin(18^\circ + 42^\circ)) = \cos 60^\circ + i\sin 60^\circ$.
Теперь переведем результат в алгебраическую форму, вычислив значения косинуса и синуса:
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, выражение равно $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) Для деления комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ на $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ используется формула, согласно которой их модули делятся, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$.
В данном выражении числитель $z_1 = 9\left(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}\right)$ и знаменатель $z_2 = 18\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$.
Модули равны $r_1 = 9$ и $r_2 = 18$. Аргументы равны $\varphi_1 = \frac{7\pi}{3}$ и $\varphi_2 = \frac{4\pi}{3}$.
Применяем формулу деления:
$\frac{9\left(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}\right)}{18\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)} = \frac{9}{18}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{3} - \frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{3} - \frac{4\pi}{3}\right)\right)$.
Вычисляем отношение модулей и разность аргументов:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{7\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$
Получаем выражение: $\frac{1}{2}(\cos\pi + i\sin\pi)$.
Вычисляем значения косинуса и синуса и подставляем их в выражение:
$\frac{1}{2}(-1 + i \cdot 0) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Для возведения комплексного числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ в натуральную степень $n$ используется формула Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.
В данном случае комплексное число $z = \sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)$, и его нужно возвести в степень $n=4$.
Модуль $r = \sqrt{5}$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{8}$.
Применяем формулу Муавра:
$\left(\sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)\right)^4 = (\sqrt{5})^4\left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right)$.
Вычисляем новый модуль и новый аргумент:
$r^n = (\sqrt{5})^4 = (5^{1/2})^4 = 5^2 = 25$
$n\varphi = 4 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$
Получаем выражение: $25\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$.
Вычисляем значения косинуса и синуса и подставляем их в выражение:
$25(0 + i \cdot 1) = 25i$.
Ответ: $25i$

8. На множестве комплексных чисел решить уравнение:

1) $z^4 = 16$;

2) $z^3 = 64$.

Для решения уравнений вида $z^n = w$ на множестве комплексных чисел, где $w$ — известное комплексное число, используется формула для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа. Сначала число $w$ представляют в тригонометрической форме $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |w|$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(w)$ — его аргумент. Тогда $n$ корней уравнения находятся по формуле Муавра:

$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, ..., n-1$.

В данном уравнении $n=4$ и $w=16$. Представим число $16$ в тригонометрической форме. Это действительное положительное число, поэтому его модуль $r = |16| = 16$, а аргумент $\varphi = 0$.

$16 = 16(\cos 0 + i\sin 0)$.

Применяем формулу для извлечения корня 4-й степени:

$z_k = \sqrt[4]{16} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{4}\right) \right) = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{2}\right) \right)$ для $k = 0, 1, 2, 3$.

Найдем все четыре корня, подставляя значения $k$:

• При $k=0$: $z_0 = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2(1 + 0i) = 2$.
• При $k=1$: $z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = 2(0 + i \cdot 1) = 2i$.
• При $k=2$: $z_2 = 2(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 2(-1 + 0i) = -2$.
• При $k=3$: $z_3 = 2(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = 2(0 + i \cdot (-1)) = -2i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -2$, $z_3 = 2i$, $z_4 = -2i$.

Здесь $n=3$ и $w=64$. Представим число $64$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |64| = 64$, аргумент $\varphi = 0$.

$64 = 64(\cos 0 + i\sin 0)$.

Применяем формулу для извлечения корня 3-й степени:

$z_k = \sqrt[3]{64} \left( \cos\left(\frac{0 + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{0 + 2\pi k}{3}\right) \right) = 4 \left( \cos\left(\frac{2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{3}\right) \right)$ для $k = 0, 1, 2$.

Найдем все три корня, подставляя значения $k$:

• При $k=0$: $z_0 = 4(\cos 0 + i\sin 0) = 4(1 + 0i) = 4$.
• При $k=1$: $z_1 = 4(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = 4(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + 2i\sqrt{3}$.
• При $k=2$: $z_2 = 4(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 4(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 - 2i\sqrt{3}$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $z_1 = 4$, $z_2 = -2 + 2i\sqrt{3}$, $z_3 = -2 - 2i\sqrt{3}$.