Номер 6, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 7. Комплексные числа - номер 6, страница 255.

Условие.

6. Записать в алгебраической форме комплексное число:

$z = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Заданное комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где модуль $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Чтобы записать это число в алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть, нужно вычислить значения косинуса и синуса для данного аргумента и затем раскрыть скобки.

Действительная часть $a$ и мнимая часть $b$ вычисляются по формулам:
$a = r \cos\varphi$
$b = r \sin\varphi$

Найдем значения тригонометрических функций для угла $\varphi = \frac{\pi}{4}$:
$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение для $z$:
$z = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Раскроем скобки, умножив модуль на действительную и мнимую части в скобках:
$z = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + i \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Выполним вычисления:
$z = \frac{(\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2} + i \frac{(\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2}$
$z = \frac{2}{4} + i \frac{2}{4}$
$z = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}$

Это и есть алгебраическая форма заданного комплексного числа.

Ответ: $z = \frac{1}{2} + i\frac{1}{2}$.