Номер 670, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 670, страница 252.

Условие.

670. Сравнить модули чисел $\frac{3 + i^{19}}{2 + i^{13}}$ и $\frac{1 + 2i^{7}}{1 + 3i}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы сравнить модули двух комплексных чисел $z_1 = \frac{3 + i^{19}}{2 + i^{13}}$ и $z_2 = \frac{1 + 2i^7}{1 + 3i}$, необходимо сначала вычислить модуль каждого из них.

1. Вычисление модуля числа $z_1$

Воспользуемся свойством модуля частного комплексных чисел: $|\frac{z_a}{z_b}| = \frac{|z_a|}{|z_b|}$.

Сначала упростим степени мнимой единицы $i$, используя их циклические свойства ($i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$). Степень $i^n$ равна $i^r$, где $r$ — остаток от деления $n$ на 4.

Для числителя: $19 = 4 \cdot 4 + 3$, поэтому $i^{19} = i^3 = -i$.

Для знаменателя: $13 = 4 \cdot 3 + 1$, поэтому $i^{13} = i^1 = i$.

Подставим упрощенные значения в выражение для $z_1$:

$z_1 = \frac{3 - i}{2 + i}$

Теперь найдем модуль этого числа. Модуль комплексного числа $a + bi$ вычисляется по формуле $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$|z_1| = \left| \frac{3 - i}{2 + i} \right| = \frac{|3 - i|}{|2 + i|} = \frac{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{9+1}}{\sqrt{4+1}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$.

2. Вычисление модуля числа $z_2$

Аналогично найдем модуль второго числа $z_2 = \frac{1 + 2i^7}{1 + 3i}$.

Упростим степень мнимой единицы в числителе: $7 = 4 \cdot 1 + 3$, поэтому $i^7 = i^3 = -i$.

Подставим это значение в выражение для $z_2$:

$z_2 = \frac{1 + 2(-i)}{1 + 3i} = \frac{1 - 2i}{1 + 3i}$

Вычислим модуль этого числа:

$|z_2| = \left| \frac{1 - 2i}{1 + 3i} \right| = \frac{|1 - 2i|}{|1 + 3i|} = \frac{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{\sqrt{1+4}}{\sqrt{1+9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Сравнение модулей

Теперь сравним полученные значения модулей: $|z_1| = \sqrt{2}$ и $|z_2| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $2 > 1$, то после деления на 2 (положительное число) получим $1 > \frac{1}{2}$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число $\sqrt{2}$:

$1 \cdot \sqrt{2} > \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}$

$\sqrt{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $|z_1| > |z_2|$.

Ответ: Модуль первого числа $\left|\frac{3 + i^{19}}{2 + i^{13}}\right|$ больше модуля второго числа $\left|\frac{1 + 2i^7}{1 + 3i}\right|$.