Номер 666, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 666, страница 252.

Условие.

666. Записать в тригонометрической форме число:

1) $-4 + 4i;$

2) $-\sqrt{3} - i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы записать комплексное число $z = -4 + 4i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.

Действительная часть числа $a = -4$, мнимая часть $b = 4$.

Модуль комплексного числа вычисляется по формуле:

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-4}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $\cos \varphi < 0$ и $\sin \varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй координатной четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем найденные значения $r$ и $\varphi$ в тригонометрическую форму:

$z = 4\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$.

Ответ: $4\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$.

2) Рассмотрим комплексное число $z = -\sqrt{3} - i$.

Действительная часть числа $a = -\sqrt{3}$, мнимая часть $b = -1$.

Найдем модуль числа $r$:

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$ из системы уравнений:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-1}{2}$

Поскольку $\cos \varphi < 0$ и $\sin \varphi < 0$, угол $\varphi$ находится в третьей координатной четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Запишем число в тригонометрической форме, подставив $r=2$ и $\varphi = \frac{7\pi}{6}$:

$z = 2 \left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)$.

Ответ: $2 \left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)$.