Номер 668, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 668, страница 252.

Условие.

668. Найти действительные числа x и y из равенства:

1) $(3y - x) + (2y - 3x)i = 6 - 10i;$

2) $xy + xyi - 2i - yi - 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(3y - x) + (2y - 3x)i = 6 - 10i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Для того чтобы найти действительные числа $x$ и $y$, приравняем действительные части (слагаемые без $i$) и мнимые части (коэффициенты при $i$) левой и правой частей данного равенства.

Действительная часть: $3y - x = 6$

Мнимая часть: $2y - 3x = -10$

Таким образом, мы получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 3y - x = 6 \\ 2y - 3x = -10 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 3y - 6$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$2y - 3(3y - 6) = -10$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$2y - 9y + 18 = -10$

$-7y = -10 - 18$

$-7y = -28$

$y = \frac{-28}{-7} = 4$

Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его в выражение для $x$:

$x = 3(4) - 6 = 12 - 6 = 6$

Проверим найденные значения, подставив их в исходное равенство:

$(3 \cdot 4 - 6) + (2 \cdot 4 - 3 \cdot 6)i = (12 - 6) + (8 - 18)i = 6 - 10i$

Равенство выполняется.

Ответ: $x = 6$, $y = 4$.

2) $xy + xyi - 2i - yi - 3 = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые, чтобы представить левую часть в стандартном виде комплексного числа $a + bi$. Отделим действительную часть (слагаемые без $i$) от мнимой (слагаемые с $i$).

Действительная часть: $xy - 3$

Мнимая часть: $xyi - yi - 2i = (xy - y - 2)i$

Перепишем уравнение в виде:

$(xy - 3) + (xy - y - 2)i = 0$

Правая часть уравнения, $0$, может быть представлена как комплексное число $0 + 0i$. Равенство будет верным, если действительная и мнимая части в левой части уравнения равны нулю.

Приравняем действительную и мнимую части к нулю:

$ \begin{cases} xy - 3 = 0 \\ xy - y - 2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы сразу находим, что:

$xy = 3$

Подставим это значение $xy$ во второе уравнение:

$3 - y - 2 = 0$

$1 - y = 0$

$y = 1$

Теперь, зная $y=1$, найдем $x$ из первого уравнения $xy = 3$:

$x \cdot 1 = 3$

$x = 3$

Проверим найденные значения, подставив их в исходное равенство:

$(3 \cdot 1) + (3 \cdot 1)i - 2i - (1)i - 3 = 3 + 3i - 2i - i - 3 = (3 - 3) + (3 - 2 - 1)i = 0 + 0i = 0$

Равенство выполняется.

Ответ: $x = 3$, $y = 1$.