Номер 663, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Упражнения к главе VII - номер 663, страница 252.

Условие.

663. Записать в алгебраической форме комплексное число:

1) $\sqrt{3} \left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)$;

2) $4 \left(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где модуль $r = \sqrt{3}$ и аргумент $\phi = \frac{\pi}{6}$. Для преобразования в алгебраическую форму $z = x + iy$, необходимо найти действительную часть $x = r\cos\phi$ и мнимую часть $y = r\sin\phi$.

Сначала вычислим значения синуса и косинуса для заданного угла:
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и раскроем скобки:
$z = \sqrt{3}\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right)$
$z = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$
$z = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, мы получили комплексное число в алгебраической форме.
Ответ: $z = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

2)

Комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, где модуль $r = 4$ и аргумент $\phi = \frac{5\pi}{4}$. Для преобразования в алгебраическую форму $z = x + iy$, найдем $x = r\cos\phi$ и $y = r\sin\phi$.

Сначала вычислим значения синуса и косинуса для угла $\frac{5\pi}{4}$. Этот угол находится в третьей координатной четверти.
$\cos\frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\frac{5\pi}{4} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и раскроем скобки:
$z = 4\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right) = 4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$
$z = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + i \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$z = -2\sqrt{2} - i2\sqrt{2}$

Таким образом, мы получили комплексное число в алгебраической форме.
Ответ: $z = -2\sqrt{2} - i2\sqrt{2}$