Номер 669, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 669, страница 252.

Условие.

669. Выполнить действия:

1) $ \frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} + i^{24} + i^{25} + i^{26} $

2) $ \frac{2-i^5}{2-i^7} + (i-1)^2 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Выполним действия для выражения $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} + i^{24} + i^{25} + i^{26}$.

Сначала упростим степени мнимой единицы $i$, зная, что $i^2 = -1$ и $i^4 = 1$. Степени $i$ повторяются с периодом 4.

$i^{24} = (i^4)^6 = 1^6 = 1$
$i^{25} = i^{24} \cdot i = 1 \cdot i = i$
$i^{26} = i^{24} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$

Сумма этих членов равна:
$i^{24} + i^{25} + i^{26} = 1 + i + (-1) = i$.

Теперь упростим дробь $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}$. Для этого удобно сначала вычислить квадраты выражений в скобках:

$(1+i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$
$(1-i)^2 = 1^2 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

Теперь можем вычислить числитель и знаменатель дроби:

$(1+i)^6 = ((1+i)^2)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = 8(-i) = -