Номер 669, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

669. Выполнить действия:

1) $ \frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} + i^{24} + i^{25} + i^{26} $

2) $ \frac{2-i^5}{2-i^7} + (i-1)^2 $

Для решения этих примеров напомним основные свойства мнимой единицы $i$:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = -i$
• $i^4 = 1$

Степени $i$ повторяются каждые 4 шага, поэтому $i^n = i^{n \pmod 4}$. Также полезно помнить, что $(1+i)^2 = 2i$ и $(1-i)^2 = -2i$.

1) $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} + i^{24} + i^{25} + i^{26}$

1. Вычислим степени скобок:
   • $(1+i)^6 = ((1+i)^2)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = -8i$
   • $(1-i)^4 = ((1-i)^2)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$
2. Найдем значение дроби: $\frac{-8i}{-4} = 2i$.
3. Вычислим степени $i$:
   • $i^{24} = (i^4)^6 = 1^6 = 1$
   • $i^{25} = i^{24} \cdot i = 1 \cdot i = i$
   • $i^{26} = i^{24} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$
4. Сложим всё вместе: $2i + 1 + i + (-1) = 3i$.

Результат: $3i$

2) $\frac{2-i^5}{2-i^7} + (i-1)^2$

1. Упростим степени $i$:
   • $i^5 = i^4 \cdot i = i$
   • $i^7 = i^4 \cdot i^3 = -i$
2. Упростим дробь: $\frac{2-i}{2-(-i)} = \frac{2-i}{2+i}$.
3. Избавимся от мнимости в знаменателе, умножив на сопряженное $(2-i)$: $$\frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 4i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5} = 0,6 - 0,8i$$
4. Вычислим второе слагаемое: $(i-1)^2 = i^2 - 2i + 1 = -1 - 2i + 1 = -2i$.
5. Сложим результаты: $(0,6 - 0,8i) + (-2i) = 0,6 - 2,8i$.

Результат: $0,6 - 2,8i$