Номер 652, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным. Глава 7. Комплексные числа - номер 652, страница 248.

Условие.

652. Решить уравнение:

1) $z^2 = -5 + 12i;$

2) $z^2 = -3 - 4i;$

3) $z^6 = 1;$

4) $z^6 = -1;$

5) $z^6 - 7z^3 - 8 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z^2 = -5 + 12i$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части уравнения $x^2 - y^2 + 2xyi = -5 + 12i$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -5 \\ 2xy = 12 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = \frac{12}{2x} = \frac{6}{x}$ и подставим в первое:

$x^2 - \left(\frac{6}{x}\right)^2 = -5$

$x^2 - \frac{36}{x^2} = -5$

Умножим обе части на $x^2$ (поскольку $x \ne 0$) и перенесем все в левую часть:

$x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $u = x^2$ ($u \ge 0$):

$u^2 + 5u - 36 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

$u_1 = \frac{-5 + 13}{2} = 4$

$u_2 = \frac{-5 - 13}{2} = -9$

Поскольку $u = x^2 \ge 0$, нам подходит только $u_1 = 4$.

Тогда $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$ из соотношения $y = 6/x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 6/2 = 3$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 6/(-2) = -3$.

Таким образом, мы получили два решения для $z$:

$z_1 = 2 + 3i$ и $z_2 = -2 - 3i$.

Ответ: $z = 2 + 3i, z = -2 - 3i$.

2) $z^2 = -3 - 4i$

Пусть $z = x + iy$. Тогда $z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$. Приравнивая это выражение к $-3 - 4i$, получаем систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -3 \\ 2xy = -4 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = -2/x$. Подставим в первое:

$x^2 - \left(-\frac{2}{x}\right)^2 = -3$

$x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$

$x^4 + 3x^2 - 4 = 0$

Сделаем замену $u = x^2$ ($u \ge 0$):

$u^2 + 3u - 4 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Корни: $u_1 = 1$ и $u_2 = -4$.

Так как $u = x^2 \ge 0$, подходит только $u_1 = 1$.

$x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y = -2/x$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -2/1 = -2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -2/(-1) = 2$.

Получаем два решения:

$z_1 = 1 - 2i$ и $z_2 = -1 + 2i$.

Ответ: $z = 1 - 2i, z = -1 + 2i$.

3) $z^6 = 1$

Это уравнение для нахождения корней шестой степени из единицы. Для решения используем тригонометрическую форму комплексного числа. Число $1$ в тригонометрической форме имеет вид $1 = \cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пусть $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. По формуле Муавра $z^6 = r^6(\cos(6\varphi) + i \sin(6\varphi))$.

Приравниваем $z^6$ и $1$:

$r^6(\cos(6\varphi) + i \sin(6\varphi)) = \cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k)$

Отсюда следует, что $r^6 = 1$, значит $r=1$ (так как $r \ge 0$).

А также $6\varphi = 2\pi k$, откуда $\varphi_k = \frac{2\pi k}{6} = \frac{\pi k}{3}$.

Чтобы найти все 6 различных корней, подставляем значения $k$ от 0 до 5:

При $k=0$: $z_0 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$.

При $k=1$: $z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=2$: $z_2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=3$: $z_3 = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1$.

При $k=4$: $z_4 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=5$: $z_5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $z \in \{1, -1, \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$.

4) $z^6 = -1$

Решаем уравнение методом извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме. Число $-1$ в тригонометрической форме: $-1 = \cos(\pi + 2\pi k) + i \sin(\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пусть $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. Тогда $z^6 = r^6(\cos(6\varphi) + i \sin(6\varphi))$.

$r^6(\cos(6\varphi) + i \sin(6\varphi)) = \cos(\pi + 2\pi k) + i \sin(\pi + 2\pi k)$

Отсюда $r^6 = 1 \implies r=1$.

$6\varphi = \pi + 2\pi k \implies \varphi_k = \frac{\pi + 2\pi k}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.

Находим 6 различных корней для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$:

При $k=0$: $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}$, $z_0 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

При $k=1$: $\varphi_1 = \frac{\pi}{2}$, $z_1 = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$.

При $k=2$: $\varphi_2 = \frac{5\pi}{6}$, $z_2 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

При $k=3$: $\varphi_3 = \frac{7\pi}{6}$, $z_3 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.

При $k=4$: $\varphi_4 = \frac{3\pi}{2}$, $z_4 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$.

При $k=5$: $\varphi_5 = \frac{11\pi}{6}$, $z_5 = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i \sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.

Ответ: $z \in \{i, -i, \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \pm i\frac{1}{2}\}$.

5) $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $z^3$. Сделаем замену $w = z^3$.

$w^2 - 7w - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$D = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

$w_1 = \frac{7 + 9}{2} = 8$

$w_2 = \frac{7 - 9}{2} = -1$

Теперь нужно решить два уравнения: $z^3 = 8$ и $z^3 = -1$.

Случай 1: $z^3 = 8$

Находим кубические корни из 8. В тригонометрической форме $8 = 8(\cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k))$.

Пусть $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Тогда $z^3 = r^3(\cos(3\varphi) + i\sin(3\varphi))$.

$r^3=8 \implies r=2$.

$3\varphi = 2\pi k \implies \varphi = \frac{2\pi k}{3}$ для $k=0, 1, 2$.

При $k=0: z_0 = 2(\cos(0) + i\sin(0)) = 2$.

При $k=1: z_1 = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}$.

При $k=2: z_2 = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}$.

Случай 2: $z^3 = -1$

Находим кубические корни из -1. В тригонометрической форме $-1 = \cos(\pi + 2\pi k) + i \sin(\pi + 2\pi k)$.

$r^3=1 \implies r=1$.

$3\varphi = \pi + 2\pi k \implies \varphi = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$ для $k=0, 1, 2$.

При $k=0: z_3 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=1: z_4 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.

При $k=2: z_5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Объединяя все найденные корни, получаем шесть решений исходного уравнения.

Ответ: $z \in \{2, -1, -1 \pm i\sqrt{3}, \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$.