Номер 651, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным. Глава 7. Комплексные числа - номер 651, страница 248.
№651 (с. 248)
Условие. №651 (с. 248)
скриншот условия

651. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень:
1) $z_1 = \frac{-3-2i}{2-i}$;
2) $z_1 = \frac{4-i}{-1+i}$.
Решение 1. №651 (с. 248)


Решение 2. №651 (с. 248)

Решение 3. №651 (с. 248)
Для составления квадратного уравнения с действительными коэффициентами, имеющего заданный комплексный корень, воспользуемся свойством, что если комплексное число $z_1 = a + bi$ является корнем такого уравнения, то и сопряженное ему число $z_2 = \overline{z_1} = a - bi$ также является его корнем.Искомое квадратное уравнение можно найти по формуле, основанной на теореме Виета: $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1 z_2 = 0$. Сумма $z_1 + z_2 = 2a$ и произведение $z_1 z_2 = a^2 + b^2$ являются действительными числами, что гарантирует действительность коэффициентов уравнения.
1) Дан корень $z_1 = \frac{-3 - 2i}{2 - i}$.
Сначала приведем корень $z_1$ к стандартной алгебраической форме $a+bi$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2+i$.
$z_1 = \frac{-3 - 2i}{2 - i} = \frac{(-3 - 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{-6 - 3i - 4i - 2i^2}{2^2 - (i)^2} = \frac{-6 - 7i - 2(-1)}{4 - (-1)} = \frac{-6 - 7i + 2}{5} = \frac{-4 - 7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i$.
Так как коэффициенты искомого уравнения действительны, второй корень $z_2$ должен быть комплексно-сопряженным к $z_1$:$z_2 = \overline{z_1} = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i$.
Теперь найдем сумму и произведение корней:
Сумма корней: $z_1 + z_2 = \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\right) + \left(-\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\right) = -\frac{8}{5}$.
Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\right) \cdot \left(-\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\right) = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{49}{25} = \frac{65}{25} = \frac{13}{5}$.
Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:
$x^2 - \left(-\frac{8}{5}\right)x + \frac{13}{5} = 0$
$x^2 + \frac{8}{5}x + \frac{13}{5} = 0$
Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим все его члены на 5:
$5x^2 + 8x + 13 = 0$
Ответ: $5x^2 + 8x + 13 = 0$.
2) Дан корень $z_1 = \frac{4 - i}{-1 + i}$.
Приведем корень $z_1$ к алгебраической форме, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $-1-i$.
$z_1 = \frac{4 - i}{-1 + i} = \frac{(4 - i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-4 - 4i + i + i^2}{(-1)^2 - (i)^2} = \frac{-4 - 3i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-5 - 3i}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i$.
Второй корень $z_2$ будет сопряженным к $z_1$:
$z_2 = \overline{z_1} = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i$.
Найдем сумму и произведение корней:
Сумма корней: $z_1 + z_2 = \left(-\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\right) + \left(-\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i\right) = -\frac{10}{2} = -5$.
Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \left(-\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\right) \cdot \left(-\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$.
Составим квадратное уравнение:
$x^2 - (-5)x + \frac{17}{2} = 0$
$x^2 + 5x + \frac{17}{2} = 0$
Умножим все члены уравнения на 2, чтобы получить целые коэффициенты:
$2x^2 + 10x + 17 = 0$
Ответ: $2x^2 + 10x + 17 = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 651 расположенного на странице 248 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №651 (с. 248), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.