Номер 651, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным - номер 651, страница 248.

Условие.

651. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень:

1) $z_1 = \frac{-3-2i}{2-i}$;

2) $z_1 = \frac{4-i}{-1+i}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для составления квадратного уравнения с действительными коэффициентами, имеющего заданный комплексный корень, воспользуемся свойством, что если комплексное число $z_1 = a + bi$ является корнем такого уравнения, то и сопряженное ему число $z_2 = \overline{z_1} = a - bi$ также является его корнем.Искомое квадратное уравнение можно найти по формуле, основанной на теореме Виета: $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1 z_2 = 0$. Сумма $z_1 + z_2 = 2a$ и произведение $z_1 z_2 = a^2 + b^2$ являются действительными числами, что гарантирует действительность коэффициентов уравнения.

1) Дан корень $z_1 = \frac{-3 - 2i}{2 - i}$.

Сначала приведем корень $z_1$ к стандартной алгебраической форме $a+bi$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2+i$.

$z_1 = \frac{-3 - 2i}{2 - i} = \frac{(-3 - 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{-6 - 3i - 4i - 2i^2}{2^2 - (i)^2} = \frac{-6 - 7i - 2(-1)}{4 - (-1)} = \frac{-6 - 7i + 2}{5} = \frac{-4 - 7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i$.

Так как коэффициенты искомого уравнения действительны, второй корень $z_2$ должен быть комплексно-сопряженным к $z_1$:$z_2 = \overline{z_1} = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i$.

Теперь найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $z_1 + z_2 = \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\right) + \left(-\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\right) = -\frac{8}{5}$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\right) \cdot \left(-\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\right) = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{49}{25} = \frac{65}{25} = \frac{13}{5}$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$x^2 - \left(-\frac{8}{5}\right)x + \frac{13}{5} = 0$

$x^2 + \frac{8}{5}x + \frac{13}{5} = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим все его члены на 5:

$5x^2 + 8x + 13 = 0$

Ответ: $5x^2 + 8x + 13 = 0$.

2) Дан корень $z_1 = \frac{4 - i}{-1 + i}$.

Приведем корень $z_1$ к алгебраической форме, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $-1-i$.

$z_1 = \frac{4 - i}{-1 + i} = \frac{(4 - i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-4 - 4i + i + i^2}{(-1)^2 - (i)^2} = \frac{-4 - 3i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-5 - 3i}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i$.

Второй корень $z_2$ будет сопряженным к $z_1$:

$z_2 = \overline{z_1} = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $z_1 + z_2 = \left(-\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\right) + \left(-\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i\right) = -\frac{10}{2} = -5$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \left(-\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\right) \cdot \left(-\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$.

Составим квадратное уравнение:

$x^2 - (-5)x + \frac{17}{2} = 0$

$x^2 + 5x + \frac{17}{2} = 0$

Умножим все члены уравнения на 2, чтобы получить целые коэффициенты:

$2x^2 + 10x + 17 = 0$

Ответ: $2x^2 + 10x + 17 = 0$.