Номер 649, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным. Глава 7. Комплексные числа - номер 649, страница 248.
№649 (с. 248)
Условие. №649 (с. 248)
скриншот условия

Разложить квадратный трёхчлен на множители (649–650).
649. 1) $z^2 - 4z + 5;$ 2) $z^2 + 4z + 13;$ 3) $z^2 + 2z + 4;$
4) $z^2 - 6z + 11.$
Решение 1. №649 (с. 248)




Решение 2. №649 (с. 248)

Решение 3. №649 (с. 248)
1) $z^2 - 4z + 5$
Для разложения данного квадратного трехчлена на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Поскольку дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$, действительных корней нет, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.
Представим член $-4z$ как $-2 \cdot z \cdot 2$. Для получения полного квадрата $(z-2)^2 = z^2 - 4z + 4$ необходимо добавить и вычесть 4:
$z^2 - 4z + 5 = (z^2 - 4z + 4) - 4 + 5 = (z-2)^2 + 1$
Используя мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$, мы можем представить 1 как $-i^2$. Тогда выражение преобразуется в разность квадратов:
$(z-2)^2 - (-1) = (z-2)^2 - i^2$
Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((z-2) - i)((z-2) + i) = (z - 2 - i)(z - 2 + i)$
Ответ: $(z - 2 - i)(z - 2 + i)$
2) $z^2 + 4z + 13$
Выделим полный квадрат в данном выражении. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0$, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.
Представим $4z$ как $2 \cdot z \cdot 2$. Для полного квадрата $(z+2)^2 = z^2 + 4z + 4$ добавим и вычтем 4:
$z^2 + 4z + 13 = (z^2 + 4z + 4) - 4 + 13 = (z+2)^2 + 9$
Так как $9 = -(-9) = -(3i)^2$, преобразуем выражение в разность квадратов:
$(z+2)^2 - (3i)^2$
По формуле разности квадратов получаем:
$((z+2) - 3i)((z+2) + 3i) = (z + 2 - 3i)(z + 2 + 3i)$
Ответ: $(z + 2 - 3i)(z + 2 + 3i)$
3) $z^2 + 2z + 4$
Выделим полный квадрат. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.
Представим $2z$ как $2 \cdot z \cdot 1$. Для полного квадрата $(z+1)^2 = z^2 + 2z + 1$ добавим и вычтем 1:
$z^2 + 2z + 4 = (z^2 + 2z + 1) - 1 + 4 = (z+1)^2 + 3$
Так как $3 = -(-3) = -(i\sqrt{3})^2$, преобразуем выражение в разность квадратов:
$(z+1)^2 - (i\sqrt{3})^2$
По формуле разности квадратов получаем:
$((z+1) - i\sqrt{3})((z+1) + i\sqrt{3}) = (z + 1 - i\sqrt{3})(z + 1 + i\sqrt{3})$
Ответ: $(z + 1 - i\sqrt{3})(z + 1 + i\sqrt{3})$
4) $z^2 - 6z + 11$
Выделим полный квадрат. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8 < 0$, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.
Представим $-6z$ как $-2 \cdot z \cdot 3$. Для полного квадрата $(z-3)^2 = z^2 - 6z + 9$ добавим и вычтем 9:
$z^2 - 6z + 11 = (z^2 - 6z + 9) - 9 + 11 = (z-3)^2 + 2$
Так как $2 = -(-2) = -(i\sqrt{2})^2$, преобразуем выражение в разность квадратов:
$(z-3)^2 - (i\sqrt{2})^2$
По формуле разности квадратов получаем:
$((z-3) - i\sqrt{2})((z-3) + i\sqrt{2}) = (z - 3 - i\sqrt{2})(z - 3 + i\sqrt{2})$
Ответ: $(z - 3 - i\sqrt{2})(z - 3 + i\sqrt{2})$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 649 расположенного на странице 248 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №649 (с. 248), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.