Номер 649, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным - номер 649, страница 248.

Условие.

Разложить квадратный трёхчлен на множители (649–650).

649. 1) $z^2 - 4z + 5;$ 2) $z^2 + 4z + 13;$ 3) $z^2 + 2z + 4;$

4) $z^2 - 6z + 11.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z^2 - 4z + 5$

Для разложения данного квадратного трехчлена на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Поскольку дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$, действительных корней нет, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.

Представим член $-4z$ как $-2 \cdot z \cdot 2$. Для получения полного квадрата $(z-2)^2 = z^2 - 4z + 4$ необходимо добавить и вычесть 4:

$z^2 - 4z + 5 = (z^2 - 4z + 4) - 4 + 5 = (z-2)^2 + 1$

Используя мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$, мы можем представить 1 как $-i^2$. Тогда выражение преобразуется в разность квадратов:

$(z-2)^2 - (-1) = (z-2)^2 - i^2$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((z-2) - i)((z-2) + i) = (z - 2 - i)(z - 2 + i)$

Ответ: $(z - 2 - i)(z - 2 + i)$

2) $z^2 + 4z + 13$

Выделим полный квадрат в данном выражении. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0$, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.

Представим $4z$ как $2 \cdot z \cdot 2$. Для полного квадрата $(z+2)^2 = z^2 + 4z + 4$ добавим и вычтем 4:

$z^2 + 4z + 13 = (z^2 + 4z + 4) - 4 + 13 = (z+2)^2 + 9$

Так как $9 = -(-9) = -(3i)^2$, преобразуем выражение в разность квадратов:

$(z+2)^2 - (3i)^2$

По формуле разности квадратов получаем:

$((z+2) - 3i)((z+2) + 3i) = (z + 2 - 3i)(z + 2 + 3i)$

Ответ: $(z + 2 - 3i)(z + 2 + 3i)$

3) $z^2 + 2z + 4$

Выделим полный квадрат. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.

Представим $2z$ как $2 \cdot z \cdot 1$. Для полного квадрата $(z+1)^2 = z^2 + 2z + 1$ добавим и вычтем 1:

$z^2 + 2z + 4 = (z^2 + 2z + 1) - 1 + 4 = (z+1)^2 + 3$

Так как $3 = -(-3) = -(i\sqrt{3})^2$, преобразуем выражение в разность квадратов:

$(z+1)^2 - (i\sqrt{3})^2$

По формуле разности квадратов получаем:

$((z+1) - i\sqrt{3})((z+1) + i\sqrt{3}) = (z + 1 - i\sqrt{3})(z + 1 + i\sqrt{3})$

Ответ: $(z + 1 - i\sqrt{3})(z + 1 + i\sqrt{3})$

4) $z^2 - 6z + 11$

Выделим полный квадрат. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8 < 0$, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.

Представим $-6z$ как $-2 \cdot z \cdot 3$. Для полного квадрата $(z-3)^2 = z^2 - 6z + 9$ добавим и вычтем 9:

$z^2 - 6z + 11 = (z^2 - 6z + 9) - 9 + 11 = (z-3)^2 + 2$

Так как $2 = -(-2) = -(i\sqrt{2})^2$, преобразуем выражение в разность квадратов:

$(z-3)^2 - (i\sqrt{2})^2$

По формуле разности квадратов получаем:

$((z-3) - i\sqrt{2})((z-3) + i\sqrt{2}) = (z - 3 - i\sqrt{2})(z - 3 + i\sqrt{2})$

Ответ: $(z - 3 - i\sqrt{2})(z - 3 + i\sqrt{2})$