Номер 628, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа - номер 628, страница 239.

Условие.

628. Число $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ можно выразить через тригонометрические функции следующим образом:

1) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}$;

2) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\frac{5\pi}{3}$;

3) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

4) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

5) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}$.

Какая из этих записей является тригонометрической формой комплексного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы определить, какая из записей является тригонометрической формой комплексного числа $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, необходимо представить это число в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.

Сначала найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$ комплексного числа $z = x + yi$, где $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Модуль числа: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Аргумент $\varphi$ найдем из системы уравнений:

$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$

$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этих уравнений следует, что угол $\varphi$ находится в IV координатной четверти. Общее решение для $\varphi$ имеет вид $\varphi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Например, при $k=0$ получаем $\varphi = -\frac{\pi}{3}$ (главное значение аргумента), а при $k=1$ получаем $\varphi = \frac{5\pi}{3}$.

Следовательно, тригонометрическая форма числа $z$ это $z = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})$ или $z = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3})$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}$

Эта запись имеет каноническую тригонометрическую форму $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ с $r=1$ и $\varphi = \frac{5\pi}{3}$. Проверим равенство: $\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Правая часть равна $\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Равенство верно, и форма записи правильная.

Ответ: Запись является тригонометрической формой данного комплексного числа.

2) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos(-\frac{5\pi}{3}) + i\sin(-\frac{5\pi}{3})$

Проверим правую часть: $\cos(-\frac{5\pi}{3}) = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin(-\frac{5\pi}{3}) = -\sin\frac{5\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Правая часть равна $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, что не соответствует исходному числу.

Ответ: Запись не является представлением данного комплексного числа, так как равенство не выполняется.

3) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})$

Эта запись имеет каноническую тригонометрическую форму с $r=1$ и $\varphi = -\frac{\pi}{3}$. Проверим равенство: $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Правая часть равна $\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Равенство верно, и форма записи правильная.

Ответ: Запись является тригонометрической формой данного комплексного числа.

4) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin(-\frac{\pi}{3})$

Эта запись не является тригонометрической формой, так как по определению аргументы у косинуса и синуса должны быть одинаковыми, а здесь они разные ($\frac{5\pi}{3} \neq -\frac{\pi}{3}$). Несмотря на то, что числовое равенство верно, форма записи некорректна.

Ответ: Запись не является тригонометрической формой.

5) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}$

Эта запись не является канонической тригонометрической формой, так как между действительной и мнимой частями стоит знак минус, а должен быть плюс. Хотя равенство верно ($\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$), форма записи не соответствует стандартной.

Ответ: Запись не является канонической тригонометрической формой.

Таким образом, на вопрос "Какая из этих записей является тригонометрической формой комплексного числа?" правильными ответами являются варианты 1 и 3, так как оба удовлетворяют условиям как по форме, так и по значению.