Номер 625, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа - номер 625, страница 239.

Условие.

625. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1) $z = 3;$

2) $z = -1;$

3) $z = 3 + 3i;$

4) $z = -2 + 2\sqrt{3}i;$

5) $z = -1 - \sqrt{3}i;$

6) $z = 5 - 5i;$

7) $z = \sqrt{5}(\cos{\frac{\pi}{3}} - i\sin{\frac{\pi}{3}});$

8) $z = -\cos{\frac{\pi}{7}} - i\sin{\frac{\pi}{7}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Тригонометрическая форма комплексного числа $z = a + bi$ имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент, который находится из системы уравнений $\cos\varphi = \frac{a}{r}$ и $\sin\varphi = \frac{b}{r}$.

1) $z = 3$

Здесь действительная часть $a = 3$, а мнимая часть $b = 0$.
Найдем модуль числа:
$r = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
Найдем аргумент:
$\cos\varphi = \frac{3}{3} = 1$
$\sin\varphi = \frac{0}{3} = 0$
Этим условиям соответствует угол $\varphi = 0$.

Ответ: $z = 3(\cos 0 + i\sin 0)$

2) $z = -1$

Здесь $a = -1$, $b = 0$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{-1}{1} = -1$
$\sin\varphi = \frac{0}{1} = 0$
Этим условиям соответствует угол $\varphi = \pi$.

Ответ: $z = \cos\pi + i\sin\pi$

3) $z = 3 + 3i$

Здесь $a = 3$, $b = 3$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, точка находится в I четверти. Угол, удовлетворяющий этим условиям, равен $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $z = 3\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

4) $z = -2 + 2\sqrt{3}i$

Здесь $a = -2$, $b = 2\sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{16} = 4$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$\sin\varphi = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Поскольку $a < 0$ и $b > 0$, точка находится во II четверти. Угол, удовлетворяющий этим условиям, равен $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $z = 4\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$

5) $z = -1 - \sqrt{3}i$

Здесь $a = -1$, $b = -\sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$
$\sin\varphi = \frac{-\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Поскольку $a < 0$ и $b < 0$, точка находится в III четверти. Угол можно найти как $\varphi = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ или как $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$. Выберем положительное значение.

Ответ: $z = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$

6) $z = 5 - 5i$

Здесь $a = 5$, $b = -5$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, точка находится в IV четверти. Угол равен $\varphi = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$).

Ответ: $z = 5\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

7) $z = \sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

Стандартная тригонометрическая форма имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. В данном выражении перед синусом стоит знак минус. Чтобы привести его к стандартному виду, используем свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$).
$z = \sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{5}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
Теперь число представлено в стандартной форме с модулем $r = \sqrt{5}$ и аргументом $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $z = \sqrt{5}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$

8) $z = -\cos\frac{\pi}{7} - i\sin\frac{\pi}{7}$

В тригонометрической форме модуль $r$ должен быть положительным. Вынесем $-1$ за скобки:
$z = -1 \cdot \left(\cos\frac{\pi}{7} + i\sin\frac{\pi}{7}\right)$.
Число $-1$ в тригонометрической форме это $1 \cdot (\cos\pi + i\sin\pi)$.
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Модуль итогового числа: $r = 1 \cdot 1 = 1$.
Аргумент итогового числа: $\varphi = \pi + \frac{\pi}{7} = \frac{8\pi}{7}$.
Таким образом, получаем:
$z = 1 \cdot \left(\cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7}\right)$.

Ответ: $z = \cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7}$