Номер 620, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Глава 7. Комплексные числа - номер 620, страница 236.

Условие.

620. Найти множество точек комплексной плоскости, которое задается условием:

1) $|z - i| < 3$

2) $|z + 3i| > 4$

3) $1 < |z + 2| < 2$

4) $2 \le |z - 5i| \le 3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данных задач мы будем использовать геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел. Выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости. Комплексное число $z = x + yi$ соответствует точке с координатами $(x, y)$ на декартовой плоскости.

1) $|z - i| < 3$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ меньше 3. Точка $z_0 = i$ имеет координаты $(0, 1)$ на комплексной плоскости. Таким образом, искомое множество точек — это открытый круг (диск) с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R = 3$. Граница круга (окружность) не включается в множество, так как неравенство строгое.

Алгебраически, пусть $z = x + yi$. Подставим в неравенство:

$|x + yi - i| < 3$

$|x + (y-1)i| < 3$

По определению модуля комплексного числа:

$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} < 3$

Возводя обе части в квадрат (так как они неотрицательны), получаем:

$x^2 + (y-1)^2 < 9$

Это и есть уравнение открытого круга с центром в $(0, 1)$ и радиусом 3.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри круга с центром в точке $z_0 = i$ (координаты $(0, 1)$) и радиусом $R=3$. Граница (окружность) в множество не входит.

2) $|z + 3i| > 4$

Перепишем неравенство в виде $|z - (-3i)| > 4$. Оно задает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = -3i$ больше 4. Точка $z_0 = -3i$ имеет координаты $(0, -3)$. Следовательно, искомое множество — это внешность круга с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 4$. Граница (окружность) не включается в множество из-за строгого неравенства.

Алгебраически, пусть $z = x + yi$:

$|x + yi + 3i| > 4$

$|x + (y+3)i| > 4$

$\sqrt{x^2 + (y+3)^2} > 4$

Возводим в квадрат:

$x^2 + (y+3)^2 > 16$

Это неравенство описывает все точки, находящиеся за пределами окружности с центром в $(0, -3)$ и радиусом 4.

Ответ: Множество точек, расположенных вне круга с центром в точке $z_0 = -3i$ (координаты $(0, -3)$) и радиусом $R=4$. Граница (окружность) в множество не входит.

3) $1 < |z + 2| < 2$

Перепишем двойное неравенство как $1 < |z - (-2)| < 2$. Оно описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = -2$ больше 1, но меньше 2. Точка $z_0 = -2$ имеет координаты $(-2, 0)$. Таким образом, мы ищем точки, которые лежат между двумя концентрическими окружностями с центром в $(-2, 0)$, радиусами $R_1 = 1$ и $R_2 = 2$. Такое множество называется открытым кольцом. Границы (обе окружности) не включаются в множество.

Алгебраически, пусть $z = x + yi$:

$1 < |x + yi + 2| < 2$

$1 < |(x+2) + yi| < 2$

$1 < \sqrt{(x+2)^2 + y^2} < 2$

Возводим все части в квадрат:

$1 < (x+2)^2 + y^2 < 4$

Это и есть аналитическое представление кольца.

Ответ: Множество точек, расположенных в кольце между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $z_0 = -2$ (координаты $(-2, 0)$), с внутренним радиусом $R_1=1$ и внешним радиусом $R_2=2$. Границы (окружности) в множество не входят.

4) $2 \le |z - 5i| \le 3$

Это двойное неравенство можно прочитать как: расстояние от точки $z$ до точки $z_0 = 5i$ не меньше 2 и не больше 3. Точка $z_0 = 5i$ имеет координаты $(0, 5)$. Искомое множество — это замкнутое кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в $(0, 5)$ и радиусами $R_1 = 2$ и $R_2 = 3$. Неравенства нестрогие, поэтому обе окружности (границы) включаются в множество.

Алгебраически, пусть $z = x + yi$:

$2 \le |x + yi - 5i| \le 3$

$2 \le |x + (y-5)i| \le 3$

$2 \le \sqrt{x^2 + (y-5)^2} \le 3$

Возводим все части в квадрат:

$4 \le x^2 + (y-5)^2 \le 9$

Это аналитическое представление замкнутого кольца.

Ответ: Множество точек, расположенных в замкнутом кольце между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $z_0 = 5i$ (координаты $(0, 5)$), с внутренним радиусом $R_1=2$ и внешним радиусом $R_2=3$. Границы (окружности) входят в множество.