Номер 613, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения. Глава 7. Комплексные числа - номер 613, страница 233.

Условие.

613. С помощью равенства $(m + ni)(m - ni) = m^2 + n^2$ доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух целых чисел, является также суммой квадратов двух целых чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать утверждение, рассмотрим два числа, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел.

Пусть первое число — это $N_1 = a^2 + b^2$, где $a$ и $b$ — целые числа.

Пусть второе число — это $N_2 = c^2 + d^2$, где $c$ и $d$ — целые числа.

Нам нужно доказать, что их произведение $N_1 \cdot N_2$ также можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Воспользуемся равенством, данным в условии: $m^2 + n^2 = (m + ni)(m - ni)$, где $i$ — мнимая единица, для которой $i^2 = -1$. Это равенство показывает, что сумму квадратов двух действительных чисел можно представить как произведение комплексно-сопряженных чисел.

Применим это равенство к нашим числам $N_1$ и $N_2$:

$N_1 = a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)$

$N_2 = c^2 + d^2 = (c + di)(c - di)$

Теперь найдем произведение $N_1 \cdot N_2$:

$N_1 \cdot N_2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = [(a + bi)(a - bi)] \cdot [(c + di)(c - di)]$

Благодаря свойству коммутативности (переместительности) умножения, мы можем изменить порядок множителей:

$N_1 \cdot N_2 = [(a + bi)(c + di)] \cdot [(a - bi)(c - di)]$

Теперь выполним умножение комплексных чисел в каждой из квадратных скобок.

Для первой скобки:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac + (ad + bc)i - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Для второй скобки:

$(a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2 = ac - (ad + bc)i - bd = (ac - bd) - (ad + bc)i$

Мы видим, что второе полученное комплексное число является сопряженным первому.

Обозначим новые целые числа: $x = ac - bd$ и $y = ad + bc$. Поскольку $a, b, c, d$ являются целыми числами, их произведения и разности/суммы ($x$ и $y$) также будут целыми числами.

Теперь произведение $N_1 \cdot N_2$ можно записать как:

$N_1 \cdot N_2 = (x + yi)(x - yi)$

Снова применяем исходное равенство $(m + ni)(m - ni) = m^2 + n^2$, где в нашем случае $m=x$ и $n=y$:

$N_1 \cdot N_2 = x^2 + y^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$

Таким образом, мы представили произведение $N_1 \cdot N_2$ в виде суммы квадратов двух целых чисел: $(ac - bd)$ и $(ad + bc)$. Это доказывает исходное утверждение. Полученная формула известна как тождество Брахмагупты-Фибоначчи.

Ответ: Утверждение доказано. Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух целых чисел ($a^2+b^2$ и $c^2+d^2$), является также суммой квадратов двух целых чисел: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$.