Номер 616, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Глава 7. Комплексные числа - номер 616, страница 236.
№616 (с. 236)
Условие. №616 (с. 236)
скриншот условия

616. Построить окружность:
1) $ |z| = 3; $
2) $ |z| = 5; $
3) $ |z - 2i| = 1; $
4) $ |z + 3i| = 2. $
Решение 1. №616 (с. 236)




Решение 2. №616 (с. 236)


Решение 3. №616 (с. 236)
Уравнение вида $|z - z_0| = R$ на комплексной плоскости задает окружность с центром в точке, соответствующей комплексному числу $z_0$, и радиусом $R$. Здесь $z$ — переменное комплексное число, которое можно представить в виде $z = x + yi$. Точка $z_0 = x_0 + y_0i$ соответствует центру окружности с координатами $(x_0, y_0)$. Уравнение $|z - z_0| = R$ эквивалентно уравнению в декартовых координатах $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
1) $|z| = 3$
Это уравнение можно представить в стандартном виде $|z - 0| = 3$. Здесь центром окружности является точка $z_0 = 0$, то есть начало координат $(0, 0)$. Радиус окружности $R = 3$.
Чтобы получить уравнение в декартовых координатах, подставим $z = x + yi$:
$|x + yi| = 3$
По определению модуля комплексного числа, $|x + yi| = \sqrt{x^2 + y^2}$, получаем:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3$
Возведя обе части уравнения в квадрат, приходим к каноническому уравнению окружности:
$x^2 + y^2 = 9$
Ответ: Окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = 3$.
2) $|z| = 5$
Аналогично первому пункту, уравнение $|z| = 5$ задает окружность с центром в начале координат $z_0 = 0$ и радиусом $R = 5$.
В декартовых координатах, с $z = x + yi$, имеем:
$|x + yi| = 5$
$\sqrt{x^2 + y^2} = 5$
Возводим в квадрат:
$x^2 + y^2 = 25$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=5$.
Ответ: Окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = 5$.
3) $|z - 2i| = 1$
Это уравнение уже представлено в стандартном виде $|z - z_0| = R$.
Центр окружности соответствует комплексному числу $z_0 = 2i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, 2)$, так как действительная часть равна нулю, а мнимая равна 2.
Радиус окружности $R = 1$.
Для проверки преобразуем уравнение в декартовы координаты, подставив $z = x + yi$:
$|(x + yi) - 2i| = 1$
$|x + (y - 2)i| = 1$
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 1$
Возводим в квадрат:
$x^2 + (y - 2)^2 = 1$
Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R = 1$.
Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R = 1$.
4) $|z + 3i| = 2$
Приведем уравнение к стандартному виду $|z - z_0| = R$:
$|z - (-3i)| = 2$
Центр окружности соответствует комплексному числу $z_0 = -3i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, -3)$, так как действительная часть равна нулю, а мнимая равна -3.
Радиус окружности $R = 2$.
Преобразуем уравнение в декартовы координаты, подставив $z = x + yi$:
$|(x + yi) + 3i| = 2$
$|x + (y + 3)i| = 2$
$\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = 2$
Возводим в квадрат:
$x^2 + (y + 3)^2 = 4$
Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 2$.
Ответ: Окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 616 расположенного на странице 236 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №616 (с. 236), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.