Номер 616, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа - номер 616, страница 236.

Условие.

616. Построить окружность:

1) $ |z| = 3; $

2) $ |z| = 5; $

3) $ |z - 2i| = 1; $

4) $ |z + 3i| = 2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Уравнение вида $|z - z_0| = R$ на комплексной плоскости задает окружность с центром в точке, соответствующей комплексному числу $z_0$, и радиусом $R$. Здесь $z$ — переменное комплексное число, которое можно представить в виде $z = x + yi$. Точка $z_0 = x_0 + y_0i$ соответствует центру окружности с координатами $(x_0, y_0)$. Уравнение $|z - z_0| = R$ эквивалентно уравнению в декартовых координатах $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

1) $|z| = 3$

Это уравнение можно представить в стандартном виде $|z - 0| = 3$. Здесь центром окружности является точка $z_0 = 0$, то есть начало координат $(0, 0)$. Радиус окружности $R = 3$.

Чтобы получить уравнение в декартовых координатах, подставим $z = x + yi$:
$|x + yi| = 3$

По определению модуля комплексного числа, $|x + yi| = \sqrt{x^2 + y^2}$, получаем:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3$

Возведя обе части уравнения в квадрат, приходим к каноническому уравнению окружности:
$x^2 + y^2 = 9$

Ответ: Окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = 3$.

2) $|z| = 5$

Аналогично первому пункту, уравнение $|z| = 5$ задает окружность с центром в начале координат $z_0 = 0$ и радиусом $R = 5$.

В декартовых координатах, с $z = x + yi$, имеем:
$|x + yi| = 5$
$\sqrt{x^2 + y^2} = 5$

Возводим в квадрат:
$x^2 + y^2 = 25$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=5$.

Ответ: Окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = 5$.

3) $|z - 2i| = 1$

Это уравнение уже представлено в стандартном виде $|z - z_0| = R$.

Центр окружности соответствует комплексному числу $z_0 = 2i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, 2)$, так как действительная часть равна нулю, а мнимая равна 2.

Радиус окружности $R = 1$.

Для проверки преобразуем уравнение в декартовы координаты, подставив $z = x + yi$:
$|(x + yi) - 2i| = 1$
$|x + (y - 2)i| = 1$
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 1$

Возводим в квадрат:
$x^2 + (y - 2)^2 = 1$

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R = 1$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R = 1$.

4) $|z + 3i| = 2$

Приведем уравнение к стандартному виду $|z - z_0| = R$:
$|z - (-3i)| = 2$

Центр окружности соответствует комплексному числу $z_0 = -3i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, -3)$, так как действительная часть равна нулю, а мнимая равна -3.

Радиус окружности $R = 2$.

Преобразуем уравнение в декартовы координаты, подставив $z = x + yi$:
$|(x + yi) + 3i| = 2$
$|x + (y + 3)i| = 2$
$\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = 2$

Возводим в квадрат:
$x^2 + (y + 3)^2 = 4$

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 2$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 2$.