Страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

615. На комплексной плоскости построить точки:

1) $3$;

2) $4$;

3) $-2$;

4) $6i$;

5) $4i$;

6) $-2i$;

7) $1 + 3i$;

8) $2 + 5i$;

9) $-3 + i$;

10) $-1 + i$;

11) $-1 - 3i$;

12) $-4 - i$;

13) $1 - 4i$;

14) $3 - 3i$.

Для построения точек на комплексной плоскости необходимо каждому комплексному числу вида $z = a + bi$ сопоставить точку с декартовыми координатами $(a, b)$. Горизонтальная ось (ось абсцисс) называется действительной осью (Re), и на ней откладывается действительная часть числа, $a$. Вертикальная ось (ось ординат) называется мнимой осью (Im), и на ней откладывается мнимая часть числа, $b$.

1) Комплексное число $z = 3$ можно записать в алгебраической форме как $z = 3 + 0i$. Здесь действительная часть $a = 3$, а мнимая часть $b = 0$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(3, 0)$, которая лежит на действительной оси. Ответ: Точка с координатами $(3, 0)$.

2) Комплексное число $z = 4$ можно записать как $z = 4 + 0i$. Действительная часть $a = 4$, мнимая часть $b = 0$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(4, 0)$, которая лежит на действительной оси. Ответ: Точка с координатами $(4, 0)$.

3) Комплексное число $z = -2$ можно записать как $z = -2 + 0i$. Действительная часть $a = -2$, мнимая часть $b = 0$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-2, 0)$, которая лежит на действительной оси. Ответ: Точка с координатами $(-2, 0)$.

4) Комплексное число $z = 6i$ можно записать как $z = 0 + 6i$. Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = 6$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(0, 6)$, которая лежит на мнимой оси. Ответ: Точка с координатами $(0, 6)$.

5) Комплексное число $z = 4i$ можно записать как $z = 0 + 4i$. Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = 4$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(0, 4)$, которая лежит на мнимой оси. Ответ: Точка с координатами $(0, 4)$.

6) Комплексное число $z = -2i$ можно записать как $z = 0 - 2i$. Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = -2$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(0, -2)$, которая лежит на мнимой оси. Ответ: Точка с координатами $(0, -2)$.

7) Для комплексного числа $z = 1 + 3i$ действительная часть $a = 1$, а мнимая часть $b = 3$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(1, 3)$. Эта точка находится в первом координатном квадранте. Ответ: Точка с координатами $(1, 3)$.

8) Для комплексного числа $z = 2 + 5i$ действительная часть $a = 2$, а мнимая часть $b = 5$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(2, 5)$. Эта точка находится в первом координатном квадранте. Ответ: Точка с координатами $(2, 5)$.

9) Для комплексного числа $z = -3 + i$, которое можно записать как $z = -3 + 1i$, действительная часть $a = -3$, а мнимая часть $b = 1$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-3, 1)$. Эта точка находится во втором координатном квадранте. Ответ: Точка с координатами $(-3, 1)$.

10) Для комплексного числа $z = -1 + i$, которое можно записать как $z = -1 + 1i$, действительная часть $a = -1$, а мнимая часть $b = 1$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-1, 1)$. Эта точка находится во втором координатном квадранте. Ответ: Точка с координатами $(-1, 1)$.

11) Для комплексного числа $z = -1 - 3i$ действительная часть $a = -1$, а мнимая часть $b = -3$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-1, -3)$. Эта точка находится в третьем координатном квадранте. Ответ: Точка с координатами $(-1, -3)$.

12) Для комплексного числа $z = -4 - i$, которое можно записать как $z = -4 - 1i$, действительная часть $a = -4$, а мнимая часть $b = -1$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-4, -1)$. Эта точка находится в третьем координатном квадранте. Ответ: Точка с координатами $(-4, -1)$.

13) Для комплексного числа $z = 1 - 4i$ действительная часть $a = 1$, а мнимая часть $b = -4$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(1, -4)$. Эта точка находится в четвертом координатном квадранте. Ответ: Точка с координатами $(1, -4)$.

14) Для комплексного числа $z = 3 - 3i$ действительная часть $a = 3$, а мнимая часть $b = -3$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(3, -3)$. Эта точка находится в четвертом координатном квадранте. Ответ: Точка с координатами $(3, -3)$.

616. Построить окружность:

1) $ |z| = 3; $

2) $ |z| = 5; $

3) $ |z - 2i| = 1; $

4) $ |z + 3i| = 2. $

Уравнение вида $|z - z_0| = R$ на комплексной плоскости задает окружность с центром в точке, соответствующей комплексному числу $z_0$, и радиусом $R$. Здесь $z$ — переменное комплексное число, которое можно представить в виде $z = x + yi$. Точка $z_0 = x_0 + y_0i$ соответствует центру окружности с координатами $(x_0, y_0)$. Уравнение $|z - z_0| = R$ эквивалентно уравнению в декартовых координатах $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

1) $|z| = 3$

Это уравнение можно представить в стандартном виде $|z - 0| = 3$. Здесь центром окружности является точка $z_0 = 0$, то есть начало координат $(0, 0)$. Радиус окружности $R = 3$.

Чтобы получить уравнение в декартовых координатах, подставим $z = x + yi$:
$|x + yi| = 3$

По определению модуля комплексного числа, $|x + yi| = \sqrt{x^2 + y^2}$, получаем:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3$

Возведя обе части уравнения в квадрат, приходим к каноническому уравнению окружности:
$x^2 + y^2 = 9$

Ответ: Окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = 3$.

2) $|z| = 5$

Аналогично первому пункту, уравнение $|z| = 5$ задает окружность с центром в начале координат $z_0 = 0$ и радиусом $R = 5$.

В декартовых координатах, с $z = x + yi$, имеем:
$|x + yi| = 5$
$\sqrt{x^2 + y^2} = 5$

Возводим в квадрат:
$x^2 + y^2 = 25$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=5$.

Ответ: Окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = 5$.

3) $|z - 2i| = 1$

Это уравнение уже представлено в стандартном виде $|z - z_0| = R$.

Центр окружности соответствует комплексному числу $z_0 = 2i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, 2)$, так как действительная часть равна нулю, а мнимая равна 2.

Радиус окружности $R = 1$.

Для проверки преобразуем уравнение в декартовы координаты, подставив $z = x + yi$:
$|(x + yi) - 2i| = 1$
$|x + (y - 2)i| = 1$
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 1$

Возводим в квадрат:
$x^2 + (y - 2)^2 = 1$

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R = 1$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R = 1$.

4) $|z + 3i| = 2$

Приведем уравнение к стандартному виду $|z - z_0| = R$:
$|z - (-3i)| = 2$

Центр окружности соответствует комплексному числу $z_0 = -3i$. На комплексной плоскости это точка с координатами $(0, -3)$, так как действительная часть равна нулю, а мнимая равна -3.

Радиус окружности $R = 2$.

Преобразуем уравнение в декартовы координаты, подставив $z = x + yi$:
$|(x + yi) + 3i| = 2$
$|x + (y + 3)i| = 2$
$\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = 2$

Возводим в квадрат:
$x^2 + (y + 3)^2 = 4$

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 2$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 2$.

617. Решить уравнение:

1) $z + 3\bar{z} = 8 + 12i$

2) $4z - \bar{z} = -9 + 10i$

1) Для решения уравнения $z + 3\bar{z} = 8 + 12i$ представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z}$ будет равно $x - iy$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(x + iy) + 3(x - iy) = 8 + 12i$

Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части:

$x + iy + 3x - 3iy = 8 + 12i$

$(x + 3x) + (y - 3y)i = 8 + 12i$

$4x - 2yi = 8 + 12i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравняем их, составив систему уравнений:

$\begin{cases} 4x = 8 \\ -2y = 12 \end{cases}$

Решим полученную систему уравнений:

Из первого уравнения находим $x$: $x = \frac{8}{4} = 2$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = \frac{12}{-2} = -6$.

Таким образом, искомое комплексное число $z = x + iy = 2 - 6i$.

Ответ: $z = 2 - 6i$.

2) Для решения уравнения $4z - \bar{z} = -9 + 10i$ также представим $z$ в виде $z = x + iy$ и, соответственно, $\bar{z}$ в виде $\bar{z} = x - iy$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$4(x + iy) - (x - iy) = -9 + 10i$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x + 4iy - x + iy = -9 + 10i$

$(4x - x) + (4y + y)i = -9 + 10i$

$3x + 5yi = -9 + 10i$

Приравняем действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения:

$\begin{cases} 3x = -9 \\ 5y = 10 \end{cases}$

Решим эту систему:

Из первого уравнения: $x = \frac{-9}{3} = -3$.

Из второго уравнения: $y = \frac{10}{5} = 2$.

Следовательно, комплексное число $z = x + iy = -3 + 2i$.

Ответ: $z = -3 + 2i$.

618. Найти расстояние между точками:

1) $6$ и $8i$;

2) $7i$ и $-2i$;

3) $1 + i$ и $2 + 3i$;

4) $3 - 2i$ и $1 - 4i$.

Расстояние между двумя точками на комплексной плоскости, которые заданы комплексными числами $z_1 = x_1 + y_1i$ и $z_2 = x_2 + y_2i$, равно модулю их разности: $d = |z_1 - z_2|$. Эта величина вычисляется по формуле, аналогичной формуле расстояния между двумя точками на декартовой плоскости: $d = |(x_1 - x_2) + (y_1 - y_2)i| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

1) Найдем расстояние между точками $z_1 = 6$ и $z_2 = 8i$.

Представим эти числа в стандартной форме: $z_1 = 6 + 0i$ и $z_2 = 0 + 8i$. Вычислим разность этих чисел: $z_1 - z_2 = (6 + 0i) - (0 + 8i) = 6 - 8i$. Теперь найдем модуль полученной разности, что и будет расстоянием между точками: $d = |6 - 8i| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

2) Найдем расстояние между точками $z_1 = 7i$ и $z_2 = -2i$.

Представим эти числа в стандартной форме: $z_1 = 0 + 7i$ и $z_2 = 0 - 2i$. Вычислим разность: $z_1 - z_2 = (0 + 7i) - (0 - 2i) = 7i + 2i = 9i$. Найдем модуль разности: $d = |9i| = |0 + 9i| = \sqrt{0^2 + 9^2} = \sqrt{81} = 9$. Так как обе точки лежат на мнимой оси, расстояние можно было найти как модуль разности их мнимых частей: $|7 - (-2)| = |9| = 9$.

Ответ: 9.

3) Найдем расстояние между точками $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 2 + 3i$.

Вычислим разность комплексных чисел: $z_1 - z_2 = (1 + i) - (2 + 3i) = (1 - 2) + (1 - 3)i = -1 - 2i$. Найдем модуль полученной разности: $d = |-1 - 2i| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

4) Найдем расстояние между точками $z_1 = 3 - 2i$ и $z_2 = 1 - 4i$.

Вычислим разность комплексных чисел: $z_1 - z_2 = (3 - 2i) - (1 - 4i) = (3 - 1) + (-2 - (-4))i = 2 + (-2 + 4)i = 2 + 2i$. Найдем модуль полученной разности: $d = |2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

619. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1) $ |z|=5; $

2) $ |z-1|=3; $

3) $ |z+3i|=1; $

4) $ |z+2i-1|=2; $

5) $ |z-2|=|z+i|; $

6) $ |z-1-i|=|z+1+i|. $

1) Уравнение $|z| = 5$ задает множество точек на комплексной плоскости, расстояние от которых до начала координат (точки $z_0 = 0$) равно 5.
Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа.
Модуль числа $z$ равен $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Тогда исходное уравнение принимает вид:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 5$
Возводя обе части в квадрат, получаем:
$x^2 + y^2 = 25$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = 5$.
Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом 5.

2) Уравнение $|z - 1| = 3$ задает множество точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей комплексному числу $z_0 = 1$ (т.е. до точки $(1, 0)$), равно 3.
Пусть $z = x + iy$.
Тогда $z - 1 = (x + iy) - 1 = (x - 1) + iy$.
Модуль этого выражения: $|z - 1| = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$.
Получаем уравнение:
$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3$
Возводим в квадрат:
$(x - 1)^2 + y^2 = 9$
Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $R = 3$.
Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 3.

3) Уравнение $|z + 3i| = 1$ можно переписать как $|z - (-3i)| = 1$. Оно задает множество точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей комплексному числу $z_0 = -3i$ (т.е. до точки $(0, -3)$), равно 1.
Пусть $z = x + iy$.
Тогда $z + 3i = (x + iy) + 3i = x + i(y + 3)$.
Модуль этого выражения: $|z + 3i| = \sqrt{x^2 + (y + 3)^2}$.
Получаем уравнение:
$\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = 1$
Возводим в квадрат:
$x^2 + (y + 3)^2 = 1$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 1$.
Ответ: Окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом 1.

4) Уравнение $|z + 2i - 1| = 2$ можно переписать как $|z - (1 - 2i)| = 2$. Оно задает множество точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей комплексному числу $z_0 = 1 - 2i$ (т.е. до точки $(1, -2)$), равно 2.
Пусть $z = x + iy$.
Тогда $z + 2i - 1 = (x - 1) + i(y + 2)$.
Модуль этого выражения: $|z + 2i - 1| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2}$.
Получаем уравнение:
$\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2} = 2$
Возводим в квадрат:
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$
Это уравнение окружности с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом $R = 2$.
Ответ: Окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом 2.

5) Уравнение $|z - 2| = |z + i|$ задает множество точек $z$, равноудаленных от двух точек комплексной плоскости: $z_1 = 2$ (точка $(2, 0)$) и $z_2 = -i$ (точка $(0, -1)$). Геометрически это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.
Алгебраически, пусть $z = x + iy$.
$|z - 2| = |(x - 2) + iy| = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$
$|z + i| = |x + i(y + 1)| = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$
Приравниваем их модули и возводим в квадрат:
$(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 1)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1$
$-4x + 4 = 2y + 1$
$2y = -4x + 3$
$y = -2x + \frac{3}{2}$
Это уравнение прямой.
Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -2x + 1.5$.

6) Уравнение $|z - 1 - i| = |z + 1 + i|$ можно переписать как $|z - (1 + i)| = |z - (-1 - i)|$. Оно задает множество точек $z$, равноудаленных от двух точек: $z_1 = 1 + i$ (точка $(1, 1)$) и $z_2 = -1 - i$ (точка $(-1, -1)$). Это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.
Алгебраически, пусть $z = x + iy$.
$|z - (1 + i)| = |(x - 1) + i(y - 1)| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2}$
$|z - (-1 - i)| = |(x + 1) + i(y + 1)| = \sqrt{(x + 1)^2 + (y + 1)^2}$
Приравниваем квадраты модулей:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 1)^2 + (y + 1)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$
$-2x - 2y = 2x + 2y$
$4x + 4y = 0$
$x + y = 0$, или $y = -x$
Это уравнение прямой (биссектриса второго и четвертого координатных углов).
Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -x$.

620. Найти множество точек комплексной плоскости, которое задается условием:

1) $|z - i| < 3$

2) $|z + 3i| > 4$

3) $1 < |z + 2| < 2$

4) $2 \le |z - 5i| \le 3$

Для решения данных задач мы будем использовать геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел. Выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости. Комплексное число $z = x + yi$ соответствует точке с координатами $(x, y)$ на декартовой плоскости.

1) $|z - i| < 3$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ меньше 3. Точка $z_0 = i$ имеет координаты $(0, 1)$ на комплексной плоскости. Таким образом, искомое множество точек — это открытый круг (диск) с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R = 3$. Граница круга (окружность) не включается в множество, так как неравенство строгое.

Алгебраически, пусть $z = x + yi$. Подставим в неравенство:

$|x + yi - i| < 3$

$|x + (y-1)i| < 3$

По определению модуля комплексного числа:

$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} < 3$

Возводя обе части в квадрат (так как они неотрицательны), получаем:

$x^2 + (y-1)^2 < 9$

Это и есть уравнение открытого круга с центром в $(0, 1)$ и радиусом 3.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри круга с центром в точке $z_0 = i$ (координаты $(0, 1)$) и радиусом $R=3$. Граница (окружность) в множество не входит.

2) $|z + 3i| > 4$

Перепишем неравенство в виде $|z - (-3i)| > 4$. Оно задает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = -3i$ больше 4. Точка $z_0 = -3i$ имеет координаты $(0, -3)$. Следовательно, искомое множество — это внешность круга с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 4$. Граница (окружность) не включается в множество из-за строгого неравенства.

Алгебраически, пусть $z = x + yi$:

$|x + yi + 3i| > 4$

$|x + (y+3)i| > 4$

$\sqrt{x^2 + (y+3)^2} > 4$

Возводим в квадрат:

$x^2 + (y+3)^2 > 16$

Это неравенство описывает все точки, находящиеся за пределами окружности с центром в $(0, -3)$ и радиусом 4.

Ответ: Множество точек, расположенных вне круга с центром в точке $z_0 = -3i$ (координаты $(0, -3)$) и радиусом $R=4$. Граница (окружность) в множество не входит.

3) $1 < |z + 2| < 2$

Перепишем двойное неравенство как $1 < |z - (-2)| < 2$. Оно описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = -2$ больше 1, но меньше 2. Точка $z_0 = -2$ имеет координаты $(-2, 0)$. Таким образом, мы ищем точки, которые лежат между двумя концентрическими окружностями с центром в $(-2, 0)$, радиусами $R_1 = 1$ и $R_2 = 2$. Такое множество называется открытым кольцом. Границы (обе окружности) не включаются в множество.

Алгебраически, пусть $z = x + yi$:

$1 < |x + yi + 2| < 2$

$1 < |(x+2) + yi| < 2$

$1 < \sqrt{(x+2)^2 + y^2} < 2$

Возводим все части в квадрат:

$1 < (x+2)^2 + y^2 < 4$

Это и есть аналитическое представление кольца.

Ответ: Множество точек, расположенных в кольце между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $z_0 = -2$ (координаты $(-2, 0)$), с внутренним радиусом $R_1=1$ и внешним радиусом $R_2=2$. Границы (окружности) в множество не входят.

4) $2 \le |z - 5i| \le 3$

Это двойное неравенство можно прочитать как: расстояние от точки $z$ до точки $z_0 = 5i$ не меньше 2 и не больше 3. Точка $z_0 = 5i$ имеет координаты $(0, 5)$. Искомое множество — это замкнутое кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в $(0, 5)$ и радиусами $R_1 = 2$ и $R_2 = 3$. Неравенства нестрогие, поэтому обе окружности (границы) включаются в множество.

Алгебраически, пусть $z = x + yi$:

$2 \le |x + yi - 5i| \le 3$

$2 \le |x + (y-5)i| \le 3$

$2 \le \sqrt{x^2 + (y-5)^2} \le 3$

Возводим все части в квадрат:

$4 \le x^2 + (y-5)^2 \le 9$

Это аналитическое представление замкнутого кольца.

Ответ: Множество точек, расположенных в замкнутом кольце между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $z_0 = 5i$ (координаты $(0, 5)$), с внутренним радиусом $R_1=2$ и внешним радиусом $R_2=3$. Границы (окружности) входят в множество.