Страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

595. Записать комплексное число, сопряжённое с числом:

1) $1 + i;$

2) $3 + 4i;$

3) $-2 + 5i;$

4) $-6 - 3i;$

5) $-0,7 - 1,3i;$

6) $\frac{1}{2} - \frac{3}{4}i.$

Для нахождения комплексного числа, сопряжённого к данному, необходимо изменить знак его мнимой части. Если исходное комплексное число имеет вид $z = a + bi$, где $a$ – действительная часть, а $b$ – коэффициент при мнимой единице $i$, то сопряжённое к нему число $\bar{z}$ равно $a - bi$.

1) Дано комплексное число $z = 1 + i$.

Действительная часть $a = 1$, мнимая часть (коэффициент при $i$) $b = 1$.

Для нахождения сопряжённого числа меняем знак мнимой части: $1 \rightarrow -1$.

Сопряжённое число: $\bar{z} = 1 - i$.

Ответ: $1 - i$.

2) Дано комплексное число $z = 3 + 4i$.

Действительная часть $a = 3$, мнимая часть $b = 4$.

Меняем знак мнимой части: $4 \rightarrow -4$.

Сопряжённое число: $\bar{z} = 3 - 4i$.

Ответ: $3 - 4i$.

3) Дано комплексное число $z = -2 + 5i$.

Действительная часть $a = -2$, мнимая часть $b = 5$.

Меняем знак мнимой части: $5 \rightarrow -5$.

Сопряжённое число: $\bar{z} = -2 - 5i$.

Ответ: $-2 - 5i$.

4) Дано комплексное число $z = -6 - 3i$.

Действительная часть $a = -6$, мнимая часть $b = -3$.

Меняем знак мнимой части: $-3 \rightarrow -(-3) = 3$.

Сопряжённое число: $\bar{z} = -6 + 3i$.

Ответ: $-6 + 3i$.

5) Дано комплексное число $z = -0,7 - 1,3i$.

Действительная часть $a = -0,7$, мнимая часть $b = -1,3$.

Меняем знак мнимой части: $-1,3 \rightarrow -(-1,3) = 1,3$.

Сопряжённое число: $\bar{z} = -0,7 + 1,3i$.

Ответ: $-0,7 + 1,3i$.

6) Дано комплексное число $z = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}i$.

Действительная часть $a = \frac{1}{2}$, мнимая часть $b = -\frac{3}{4}$.

Меняем знак мнимой части: $-\frac{3}{4} \rightarrow -(-\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$.

Сопряжённое число: $\bar{z} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}i$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}i$.

596. Найти модуль комплексного числа:

1) $6 + 8i;$

2) $8 - 6i;$

3) $-\sqrt{3} + i;$

4) $\sqrt{2} - \sqrt{3}i;$

5) $5i;$

6) $-2i;$

7) $\frac{1}{4} - \frac{3}{4}i;$

8) $-\frac{4}{7} - \frac{3}{7}i.$

Модуль комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ – действительная часть, а $b$ – мнимая часть, находится по формуле: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Для комплексного числа $z = 6 + 8i$ действительная часть $a = 6$, мнимая часть $b = 8$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

Для комплексного числа $z = 8 - 6i$ действительная часть $a = 8$, мнимая часть $b = -6$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

Для комплексного числа $z = -\sqrt{3} + i$ действительная часть $a = -\sqrt{3}$, мнимая часть $b = 1$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2.

Для комплексного числа $z = \sqrt{2} - \sqrt{3}i$ действительная часть $a = \sqrt{2}$, мнимая часть $b = -\sqrt{3}$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

Для комплексного числа $z = 5i$, которое можно записать как $z = 0 + 5i$, действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = 5$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

Для комплексного числа $z = -2i$, которое можно записать как $z = 0 - 2i$, действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = -2$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2.

Для комплексного числа $z = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}i$ действительная часть $a = \frac{1}{4}$, мнимая часть $b = -\frac{3}{4}$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (-\frac{3}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{1+9}{16}} = \sqrt{\frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Для комплексного числа $z = -\frac{4}{7} - \frac{3}{7}i$ действительная часть $a = -\frac{4}{7}$, мнимая часть $b = -\frac{3}{7}$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{(-\frac{4}{7})^2 + (-\frac{3}{7})^2} = \sqrt{\frac{16}{49} + \frac{9}{49}} = \sqrt{\frac{16+9}{49}} = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.