Страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

580. (Устно.) Назвать действительную и мнимую части комплексного числа:

1) $3 + 4i;$

2) $\frac{1}{3} + \frac{1}{5}i;$

3) $\sqrt{2} - \sqrt{5}i;$

4) $-\sqrt[3]{4} + i;$

5) $12;$

6) $3,5i.$

Любое комплексное число $z$ может быть представлено в алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица, такая что $i^2 = -1$. Число $a$ называется действительной частью комплексного числа $z$ (обозначается $\text{Re}(z)$), а число $b$ — мнимой частью (обозначается $\text{Im}(z)$).

1) Для комплексного числа $z = 3 + 4i$.

Здесь действительная часть $a = 3$, а мнимая часть $b = 4$.

Ответ: действительная часть равна 3, мнимая часть равна 4.

2) Для комплексного числа $z = \frac{1}{3} + \frac{1}{5}i$.

Здесь действительная часть $a = \frac{1}{3}$, а мнимая часть $b = \frac{1}{5}$.

Ответ: действительная часть равна $\frac{1}{3}$, мнимая часть равна $\frac{1}{5}$.

3) Для комплексного числа $z = \sqrt{2} - \sqrt{5}i$.

Здесь действительная часть $a = \sqrt{2}$, а мнимая часть $b = -\sqrt{5}$.

Ответ: действительная часть равна $\sqrt{2}$, мнимая часть равна $-\sqrt{5}$.

4) Для комплексного числа $z = -\sqrt[3]{4} + i$.

Данное число можно представить в стандартной форме как $z = -\sqrt[3]{4} + 1 \cdot i$. Отсюда видно, что действительная часть $a = -\sqrt[3]{4}$, а мнимая часть $b = 1$.

Ответ: действительная часть равна $-\sqrt[3]{4}$, мнимая часть равна 1.

5) Для числа $12$.

Это действительное число, его можно представить в виде комплексного числа, у которого мнимая часть равна нулю: $z = 12 + 0 \cdot i$. Таким образом, действительная часть $a = 12$, а мнимая часть $b = 0$.

Ответ: действительная часть равна 12, мнимая часть равна 0.

6) Для числа $3,5i$.

Это чисто мнимое число, его можно представить в виде комплексного числа, у которого действительная часть равна нулю: $z = 0 + 3,5i$. Таким образом, действительная часть $a = 0$, а мнимая часть $b = 3,5$.

Ответ: действительная часть равна 0, мнимая часть равна 3,5.

581. Записать комплексное число, у которого действительная и мнимая части соответственно равны:

1) 2 и 5;

2) 2,3 и -1,7;

3) 0 и -6;

4) -6 и 0.

Комплексное число в алгебраической форме имеет вид $z = a + bi$, где $a$ – это действительная (вещественная) часть, обозначаемая как $\text{Re}(z)$, а $b$ – это мнимая часть, обозначаемая как $\text{Im}(z)$. Число $i$ является мнимой единицей, для которой справедливо $i^2 = -1$.

Для решения задачи необходимо подставить данные значения действительной и мнимой частей в эту формулу.

1) Дано: действительная часть $a = 2$ и мнимая часть $b = 5$.
Подставляя эти значения в общую формулу $z = a + bi$, получаем:
$z = 2 + 5i$
Ответ: $2 + 5i$

2) Дано: действительная часть $a = 2,3$ и мнимая часть $b = -1,7$.
Подставляя эти значения, получаем:
$z = 2,3 + (-1,7)i$
Принято записывать это в более компактном виде:
$z = 2,3 - 1,7i$
Ответ: $2,3 - 1,7i$

3) Дано: действительная часть $a = 0$ и мнимая часть $b = -6$.
Подставляя эти значения, получаем:
$z = 0 + (-6)i$
Если действительная часть равна нулю, число называется чисто мнимым. Запись можно упростить, опустив ноль:
$z = -6i$
Ответ: $-6i$

4) Дано: действительная часть $a = -6$ и мнимая часть $b = 0$.
Подставляя эти значения, получаем:
$z = -6 + 0 \cdot i$
Если мнимая часть равна нулю, комплексное число является действительным числом. Слагаемое с мнимой частью опускается:
$z = -6$
Ответ: $-6$

582. (Устно.) При каком значении $x$ равна нулю действительная часть комплексного числа:

1) $(x-5)+2i;$

2) $(x+\frac{1}{3})-i;$

3) $(2x+1)-3i;$

4) $(3x-5)+4i?$

Комплексное число в алгебраической форме записывается как $z = a + bi$, где $a$ – это действительная (вещественная) часть числа, обозначаемая как $Re(z)$, а $bi$ – мнимая часть, где $i$ – мнимая единица ($i^2 = -1$). Задача состоит в том, чтобы найти такое значение переменной $x$, при котором действительная часть $a$ каждого из данных комплексных чисел обращается в ноль. Для этого нужно в каждом выражении выделить действительную часть и приравнять ее к нулю.

1) В комплексном числе $(x - 5) + 2i$ действительная часть $Re(z)$ равна выражению $(x-5)$. Приравниваем ее к нулю, чтобы найти искомое значение $x$:
$x - 5 = 0$
Решая это простое линейное уравнение, получаем $x = 5$.
Ответ: $5$.

2) В комплексном числе $(x + \frac{1}{3}) - i$ действительная часть $Re(z)$ равна $(x + \frac{1}{3})$. Приравняем ее к нулю:
$x + \frac{1}{3} = 0$
Отсюда следует, что $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

3) В комплексном числе $(2x + 1) - 3i$ его действительная часть $Re(z)$ равна $(2x + 1)$. Составляем и решаем уравнение:
$2x + 1 = 0$
Переносим 1 в правую часть: $2x = -1$.
Делим обе части на 2: $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4) В комплексном числе $(3x - 5) + 4i$ действительная часть $Re(z)$ равна $(3x - 5)$. Приравниваем ее к нулю:
$3x - 5 = 0$
Переносим -5 в правую часть: $3x = 5$.
Делим обе части на 3, чтобы найти $x$: $x = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

583. (Устно.) При каком значении x равна единице мнимая часть комплексного числа:

1) $12+(x-3)i$;

2) $-1+(x+1)i$;

3) $\sqrt{2}+(2x-1)i$;

4) $-\frac{1}{5}-(3x-4)i$?

1) Мнимая часть комплексного числа $z = a + bi$ — это коэффициент $b$ при мнимой единице $i$. В комплексном числе $12 + (x - 3)i$ мнимая часть равна $(x - 3)$. Согласно условию, мнимая часть должна быть равна единице. Составим и решим уравнение:
$x - 3 = 1$
$x = 1 + 3$
$x = 4$
Ответ: $x=4$.

2) В комплексном числе $-1 + (x + 1)i$ мнимая часть равна $(x + 1)$. Приравняем мнимую часть к единице:
$x + 1 = 1$
$x = 1 - 1$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

3) В комплексном числе $\sqrt{2} + (2x - 1)i$ мнимая часть равна $(2x - 1)$. Приравняем мнимую часть к единице и решим полученное уравнение:
$2x - 1 = 1$
$2x = 1 + 1$
$2x = 2$
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

4) В комплексном числе $-\frac{1}{5} - (3x - 4)i$ мнимая часть равна $-(3x - 4)$. Приравняем это выражение к единице:
$-(3x - 4) = 1$
Раскроем скобки:
$-3x + 4 = 1$
Перенесем 4 в правую часть:
$-3x = 1 - 4$
$-3x = -3$
Разделим обе части на -3:
$x = 1$
Ответ: $x=1$.