Страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

593. Найти действительные значения x и y, если:

1) $(x + 2yi) + (3y - 2xi) = 2 + 4i;$

2) $(2x + 5yi) + (y + xi) = 2 + i;$

3) $y - \frac{10}{x} + 7i = \frac{8i}{x} + yi - 2;$

4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{i}{x} = \frac{3}{x} - \frac{i}{y} + 3i.$

1) Для равенства двух комплексных чисел необходимо, чтобы их действительные и мнимые части были равны. Сначала сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения $(x + 2yi) + (3y - 2xi) = 2 + 4i$.
Действительная часть: $(x + 3y)$.
Мнимая часть: $(2y - 2x)i$.
Получаем уравнение: $(x + 3y) + (2y - 2x)i = 2 + 4i$.
Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} x + 3y = 2 \\ 2y - 2x = 4 \end{cases} $$ Это система двух линейных уравнений. Упростим второе уравнение, разделив его на 2: $y - x = 2$, откуда $y = x + 2$.
Подставим выражение для $y$ в первое уравнение: $x + 3(x + 2) = 2$
$x + 3x + 6 = 2$
$4x = -4$
$x = -1$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$: $y = -1 + 2 = 1$.
Ответ: $x = -1, y = 1$.

2) Сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения $(2x + 5yi) + (y + xi) = 2 + i$.
Действительная часть: $(2x + y)$.
Мнимая часть: $(5y + x)i$.
Получаем уравнение: $(2x + y) + (5y + x)i = 2 + 1i$.
Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x + 5y = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2 - 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $x + 5(2 - 2x) = 1$
$x + 10 - 10x = 1$
$-9x = -9$
$x = 1$
Теперь найдем $y$: $y = 2 - 2(1) = 0$.
Ответ: $x = 1, y = 0$.

3) Перегруппируем члены в уравнении $y - \frac{10}{x} + 7i = \frac{8i}{x} + yi - 2$, чтобы выделить действительные и мнимые части с каждой стороны.
$(y - \frac{10}{x}) + 7i = -2 + (\frac{8}{x} + y)i$.
Приравниваем действительные и мнимые части (при условии, что $x \neq 0$): $$ \begin{cases} y - \frac{10}{x} = -2 \\ 7 = \frac{8}{x} + y \end{cases} $$ Получили систему уравнений. Перепишем ее в более удобном виде: $$ \begin{cases} y - \frac{10}{x} = -2 \\ y + \frac{8}{x} = 7 \end{cases} $$ Вычтем первое уравнение из второго: $(y + \frac{8}{x}) - (y - \frac{10}{x}) = 7 - (-2)$
$\frac{8}{x} + \frac{10}{x} = 9$
$\frac{18}{x} = 9$
$9x = 18$
$x = 2$
Подставим $x = 2$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$: $y + \frac{8}{2} = 7$
$y + 4 = 7$
$y = 3$.
Ответ: $x = 2, y = 3$.

4) Сгруппируем действительные и мнимые части в уравнении $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{i}{x} = \frac{3}{x} - \frac{i}{y} + 3i$.
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + (\frac{1}{x})i = (\frac{3}{x}) + (3 - \frac{1}{y})i$.
Приравниваем действительные и мнимые части (при условии, что $x \neq 0, y \neq 0$): $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{x} \\ \frac{1}{x} = 3 - \frac{1}{y} \end{cases} $$ Из второго уравнения следует, что $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$.
Теперь мы имеем два выражения для суммы $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Приравняем их правые части: $\frac{3}{x} = 3$
Отсюда $3x = 3$, значит $x = 1$.
Подставим $x=1$ в уравнение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$: $\frac{1}{1} + \frac{1}{y} = 3$
$1 + \frac{1}{y} = 3$
$\frac{1}{y} = 2$
$y = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = 1, y = \frac{1}{2}$.

594. Доказать равенство:

1) $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$;

2) $z_1 z_2 = z_2 z_1$;

3) $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$;

4) $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$;

5) $z + 0 = z$;

6) $z \cdot 1 = z$.

1) $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме: $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$, где $x_1, y_1, x_2, y_2$ — действительные числа.

Сложение комплексных чисел определяется следующим образом:$z_1 + z_2 = (x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$.

Найдем сумму в другом порядке:$z_2 + z_1 = (x_2 + iy_2) + (x_1 + iy_1) = (x_2 + x_1) + i(y_2 + y_1)$.

Так как для действительных чисел сложение коммутативно (переместительно), то $x_1 + x_2 = x_2 + x_1$ и $y_1 + y_2 = y_2 + y_1$.Следовательно, правые части выражений для $z_1 + z_2$ и $z_2 + z_1$ равны.

$(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2) = (x_2 + x_1) + i(y_2 + y_1)$.Таким образом, $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) $z_1 z_2 = z_2 z_1$

Пусть $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$.

Умножение комплексных чисел определяется следующим образом:$z_1 z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i y_1 x_2 + i^2 y_1 y_2$.Поскольку $i^2 = -1$, получаем:$z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)$.

Найдем произведение в другом порядке:$z_2 z_1 = (x_2 + iy_2)(x_1 + iy_1) = x_2 x_1 + i x_2 y_1 + i y_2 x_1 + i^2 y_2 y_1$.$z_2 z_1 = (x_2 x_1 - y_2 y_1) + i(x_2 y_1 + y_2 x_1)$.

Для действительных чисел операции сложения и умножения коммутативны. Поэтому:$x_1 x_2 = x_2 x_1$ и $y_1 y_2 = y_2 y_1$, следовательно, действительные части равны: $x_1 x_2 - y_1 y_2 = x_2 x_1 - y_2 y_1$.Также $x_1 y_2 + y_1 x_2 = y_1 x_2 + x_1 y_2 = x_2 y_1 + y_2 x_1$, следовательно, мнимые части также равны.

Поскольку действительные и мнимые части произведений $z_1 z_2$ и $z_2 z_1$ равны, то и сами произведения равны.Таким образом, $z_1 z_2 = z_2 z_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

3) $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$

Пусть $z_1 = x_1 + iy_1$, $z_2 = x_2 + iy_2$ и $z_3 = x_3 + iy_3$.

Найдем левую часть равенства. Сначала вычислим $z_1 z_2$:$z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)$.Теперь умножим результат на $z_3$:$(z_1 z_2) z_3 = ((x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2))(x_3 + iy_3)$$= ((x_1 x_2 - y_1 y_2)x_3 - (x_1 y_2 + y_1 x_2)y_3) + i((x_1 x_2 - y_1 y_2)y_3 + (x_1 y_2 + y_1 x_2)x_3)$$= (x_1 x_2 x_3 - y_1 y_2 x_3 - x_1 y_2 y_3 - y_1 x_2 y_3) + i(x_1 x_2 y_3 - y_1 y_2 y_3 + x_1 y_2 x_3 + y_1 x_2 x_3)$.

Найдем правую часть равенства. Сначала вычислим $z_2 z_3$:$z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3) + i(x_2 y_3 + y_2 x_3)$.Теперь умножим $z_1$ на результат:$z_1 (z_2 z_3) = (x_1 + iy_1)((x_2 x_3 - y_2 y_3) + i(x_2 y_3 + y_2 x_3))$$= (x_1(x_2 x_3 - y_2 y_3) - y_1(x_2 y_3 + y_2 x_3)) + i(x_1(x_2 y_3 + y_2 x_3) + y_1(x_2 x_3 - y_2 y_3))$$= (x_1 x_2 x_3 - x_1 y_2 y_3 - y_1 x_2 y_3 - y_1 y_2 x_3) + i(x_1 x_2 y_3 + x_1 y_2 x_3 + y_1 x_2 x_3 - y_1 y_2 y_3)$.

Сравнивая действительные и мнимые части левой и правой частей, видим, что они равны. Это следует из ассоциативности и дистрибутивности операций для действительных чисел.Следовательно, $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

4) $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$

Пусть $z_1 = x_1 + iy_1$, $z_2 = x_2 + iy_2$ и $z_3 = x_3 + iy_3$.

Найдем левую часть равенства:$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$.$(z_1 + z_2) + z_3 = ((x_1 + x_2) + x_3) + i((y_1 + y_2) + y_3)$.

Найдем правую часть равенства:$z_2 + z_3 = (x_2 + x_3) + i(y_2 + y_3)$.$z_1 + (z_2 + z_3) = (x_1 + (x_2 + x_3)) + i(y_1 + (y_2 + y_3))$.

Так как для действительных чисел сложение ассоциативно (сочетательно), то $(x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3)$ и $(y_1 + y_2) + y_3 = y_1 + (y_2 + y_3)$.Следовательно, левая и правая части равенства равны.Таким образом, $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

5) $z + 0 = z$

Пусть $z = x + iy$. Комплексное число 0 представляется как $0 + i \cdot 0$.

По определению сложения комплексных чисел:$z + 0 = (x + iy) + (0 + i \cdot 0) = (x + 0) + i(y + 0)$.

Поскольку 0 является нейтральным элементом для сложения действительных чисел ($x+0=x, y+0=y$), получаем:$(x + 0) + i(y + 0) = x + iy = z$.

Таким образом, $z + 0 = z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

6) $z \cdot 1 = z$

Пусть $z = x + iy$. Комплексное число 1 представляется как $1 + i \cdot 0$.

По определению умножения комплексных чисел:$z \cdot 1 = (x + iy)(1 + i \cdot 0) = (x \cdot 1 - y \cdot 0) + i(x \cdot 0 + y \cdot 1)$.

Поскольку 1 является нейтральным элементом для умножения действительных чисел ($x \cdot 1 = x, y \cdot 1 = y$), а умножение на 0 дает 0 ($x \cdot 0 = 0, y \cdot 0 = 0$), получаем:$(x - 0) + i(0 + y) = x + iy = z$.

Таким образом, $z \cdot 1 = z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.