Номер 594, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел - номер 594, страница 228.

Условие.

594. Доказать равенство:

1) $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$;

2) $z_1 z_2 = z_2 z_1$;

3) $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$;

4) $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$;

5) $z + 0 = z$;

6) $z \cdot 1 = z$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме: $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$, где $x_1, y_1, x_2, y_2$ — действительные числа.

Сложение комплексных чисел определяется следующим образом:$z_1 + z_2 = (x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$.

Найдем сумму в другом порядке:$z_2 + z_1 = (x_2 + iy_2) + (x_1 + iy_1) = (x_2 + x_1) + i(y_2 + y_1)$.

Так как для действительных чисел сложение коммутативно (переместительно), то $x_1 + x_2 = x_2 + x_1$ и $y_1 + y_2 = y_2 + y_1$.Следовательно, правые части выражений для $z_1 + z_2$ и $z_2 + z_1$ равны.

$(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2) = (x_2 + x_1) + i(y_2 + y_1)$.Таким образом, $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) $z_1 z_2 = z_2 z_1$

Пусть $z_1 = x_1 + iy_1$ и $z_2 = x_2 + iy_2$.

Умножение комплексных чисел определяется следующим образом:$z_1 z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i y_1 x_2 + i^2 y_1 y_2$.Поскольку $i^2 = -1$, получаем:$z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)$.

Найдем произведение в другом порядке:$z_2 z_1 = (x_2 + iy_2)(x_1 + iy_1) = x_2 x_1 + i x_2 y_1 + i y_2 x_1 + i^2 y_2 y_1$.$z_2 z_1 = (x_2 x_1 - y_2 y_1) + i(x_2 y_1 + y_2 x_1)$.

Для действительных чисел операции сложения и умножения коммутативны. Поэтому:$x_1 x_2 = x_2 x_1$ и $y_1 y_2 = y_2 y_1$, следовательно, действительные части равны: $x_1 x_2 - y_1 y_2 = x_2 x_1 - y_2 y_1$.Также $x_1 y_2 + y_1 x_2 = y_1 x_2 + x_1 y_2 = x_2 y_1 + y_2 x_1$, следовательно, мнимые части также равны.

Поскольку действительные и мнимые части произведений $z_1 z_2$ и $z_2 z_1$ равны, то и сами произведения равны.Таким образом, $z_1 z_2 = z_2 z_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

3) $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$

Пусть $z_1 = x_1 + iy_1$, $z_2 = x_2 + iy_2$ и $z_3 = x_3 + iy_3$.

Найдем левую часть равенства. Сначала вычислим $z_1 z_2$:$z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)$.Теперь умножим результат на $z_3$:$(z_1 z_2) z_3 = ((x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2))(x_3 + iy_3)$$= ((x_1 x_2 - y_1 y_2)x_3 - (x_1 y_2 + y_1 x_2)y_3) + i((x_1 x_2 - y_1 y_2)y_3 + (x_1 y_2 + y_1 x_2)x_3)$$= (x_1 x_2 x_3 - y_1 y_2 x_3 - x_1 y_2 y_3 - y_1 x_2 y_3) + i(x_1 x_2 y_3 - y_1 y_2 y_3 + x_1 y_2 x_3 + y_1 x_2 x_3)$.

Найдем правую часть равенства. Сначала вычислим $z_2 z_3$:$z_2 z_3 = (x_2 x_3 - y_2 y_3) + i(x_2 y_3 + y_2 x_3)$.Теперь умножим $z_1$ на результат:$z_1 (z_2 z_3) = (x_1 + iy_1)((x_2 x_3 - y_2 y_3) + i(x_2 y_3 + y_2 x_3))$$= (x_1(x_2 x_3 - y_2 y_3) - y_1(x_2 y_3 + y_2 x_3)) + i(x_1(x_2 y_3 + y_2 x_3) + y_1(x_2 x_3 - y_2 y_3))$$= (x_1 x_2 x_3 - x_1 y_2 y_3 - y_1 x_2 y_3 - y_1 y_2 x_3) + i(x_1 x_2 y_3 + x_1 y_2 x_3 + y_1 x_2 x_3 - y_1 y_2 y_3)$.

Сравнивая действительные и мнимые части левой и правой частей, видим, что они равны. Это следует из ассоциативности и дистрибутивности операций для действительных чисел.Следовательно, $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

4) $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$

Пусть $z_1 = x_1 + iy_1$, $z_2 = x_2 + iy_2$ и $z_3 = x_3 + iy_3$.

Найдем левую часть равенства:$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$.$(z_1 + z_2) + z_3 = ((x_1 + x_2) + x_3) + i((y_1 + y_2) + y_3)$.

Найдем правую часть равенства:$z_2 + z_3 = (x_2 + x_3) + i(y_2 + y_3)$.$z_1 + (z_2 + z_3) = (x_1 + (x_2 + x_3)) + i(y_1 + (y_2 + y_3))$.

Так как для действительных чисел сложение ассоциативно (сочетательно), то $(x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3)$ и $(y_1 + y_2) + y_3 = y_1 + (y_2 + y_3)$.Следовательно, левая и правая части равенства равны.Таким образом, $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

5) $z + 0 = z$

Пусть $z = x + iy$. Комплексное число 0 представляется как $0 + i \cdot 0$.

По определению сложения комплексных чисел:$z + 0 = (x + iy) + (0 + i \cdot 0) = (x + 0) + i(y + 0)$.

Поскольку 0 является нейтральным элементом для сложения действительных чисел ($x+0=x, y+0=y$), получаем:$(x + 0) + i(y + 0) = x + iy = z$.

Таким образом, $z + 0 = z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

6) $z \cdot 1 = z$

Пусть $z = x + iy$. Комплексное число 1 представляется как $1 + i \cdot 0$.

По определению умножения комплексных чисел:$z \cdot 1 = (x + iy)(1 + i \cdot 0) = (x \cdot 1 - y \cdot 0) + i(x \cdot 0 + y \cdot 1)$.

Поскольку 1 является нейтральным элементом для умножения действительных чисел ($x \cdot 1 = x, y \cdot 1 = y$), а умножение на 0 дает 0 ($x \cdot 0 = 0, y \cdot 0 = 0$), получаем:$(x - 0) + i(0 + y) = x + iy = z$.

Таким образом, $z \cdot 1 = z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.