Номер 590, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел - номер 590, страница 227.

Условие.

590. Упростить выражение (a, b — действительные числа):

1) $(a + 3bi) + (a - 5bi);$

2) $(3a + 2bi) + (-7a - 2bi);$

3) $(a + 3bi)(a - 3bi);$

4) $(2a + bi)(2a - bi);$

5) $(2b + 3ai)(3a + 2bi);$

6) $(3a + 4bi)(4b + 3ai).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для сложения комплексных чисел $(a + 3bi)$ и $(a - 5bi)$ необходимо сложить их действительные и мнимые части по отдельности. Действительные части складываются с действительными, мнимые с мнимыми.

Сложение действительных частей: $a + a = 2a$.

Сложение мнимых частей: $3bi - 5bi = (3b - 5b)i = -2bi$.

Результат сложения: $2a - 2bi$.

Ответ: $2a - 2bi$

2) Складываем комплексные числа $(3a + 2bi)$ и $(-7a - 2bi)$.

Сложение действительных частей: $3a + (-7a) = 3a - 7a = -4a$.

Сложение мнимых частей: $2bi + (-2bi) = 2bi - 2bi = 0$.

Результат сложения: $-4a + 0 = -4a$.

Ответ: $-4a$

3) Умножаем два комплексно-сопряженных числа $(a + 3bi)$ и $(a - 3bi)$. Можно использовать формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=a$ и $y=3bi$.

$(a + 3bi)(a - 3bi) = a^2 - (3bi)^2$.

Зная, что мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ ($i^2 = -1$), вычислим $(3bi)^2 = 3^2 \cdot b^2 \cdot i^2 = 9b^2(-1) = -9b^2$.

Подставляем полученное значение в выражение: $a^2 - (-9b^2) = a^2 + 9b^2$.

Ответ: $a^2 + 9b^2$

4) Умножаем два комплексно-сопряженных числа $(2a + bi)$ и $(2a - bi)$, применяя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=2a$ и $y=bi$.

$(2a + bi)(2a - bi) = (2a)^2 - (bi)^2$.

Возводим в квадрат: $(2a)^2 = 4a^2$ и $(bi)^2 = b^2i^2 = -b^2$.

Подставляем значения: $4a^2 - (-b^2) = 4a^2 + b^2$.

Ответ: $4a^2 + b^2$

5) Умножаем два комплексных числа $(2b + 3ai)(3a + 2bi)$, раскрывая скобки:

$(2b + 3ai)(3a + 2bi) = (2b)(3a) + (2b)(2bi) + (3ai)(3a) + (3ai)(2bi)$

$= 6ab + 4b^2i + 9a^2i + 6abi^2$.

Заменяем $i^2$ на $-1$: $6abi^2 = 6ab(-1) = -6ab$.

Выражение становится: $6ab + 4b^2i + 9a^2i - 6ab$.

Группируем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $6ab - 6ab = 0$.

Мнимая часть: $4b^2i + 9a^2i = (9a^2 + 4b^2)i$.

Итоговый результат: $0 + (9a^2 + 4b^2)i = (9a^2 + 4b^2)i$.

Ответ: $(9a^2 + 4b^2)i$

6) Умножаем два комплексных числа $(3a + 4bi)(4b + 3ai)$, раскрывая скобки:

$(3a + 4bi)(4b + 3ai) = (3a)(4b) + (3a)(3ai) + (4bi)(4b) + (4bi)(3ai)$

$= 12ab + 9a^2i + 16b^2i + 12abi^2$.

Заменяем $i^2$ на $-1$: $12abi^2 = 12ab(-1) = -12ab$.

Выражение становится: $12ab + 9a^2i + 16b^2i - 12ab$.

Группируем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $12ab - 12ab = 0$.

Мнимая часть: $9a^2i + 16b^2i = (9a^2 + 16b^2)i$.

Итоговый результат: $0 + (9a^2 + 16b^2)i = (9a^2 + 16b^2)i$.

Ответ: $(9a^2 + 16b^2)i$