Номер 589, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 1. Определение комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел. Глава 7. Комплексные числа - номер 589, страница 227.

Условие.

589. Найти действительные числа x и y, если:

1) $9x + 2yi = 12 + i;$

2) $x - 2yi = -1 - \sqrt{3}i;$

3) $2x - (3 + y)i = -4 + 5,3i;$

4) $-3x + \left(y - \frac{3}{4}\right)i = 1,5 + \frac{1}{4}i;$

5) $(x + y) + (x - y)i = 3 + i;$

6) $(5x - y) + (x + y)i = 7 - i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения всех представленных уравнений используется свойство равенства двух комплексных чисел. Два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части ($Re$) и мнимые части ($Im$):

$a_1 + b_1i = a_2 + b_2i \iff \begin{cases} a_1 = a_2 \\ b_1 = b_2 \end{cases}$

Применим этот принцип к каждому уравнению, чтобы найти действительные числа $x$ и $y$.

1) Дано уравнение $9x + 2yi = 12 + i$.
Приравниваем действительные части: $Re(9x + 2yi) = Re(12 + i)$.
$9x = 12$
Приравниваем мнимые части: $Im(9x + 2yi) = Im(12 + i)$.
$2y = 1$
Решаем полученную систему уравнений:
Из первого уравнения находим $x$: $x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
Из второго уравнения находим $y$: $y = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{4}{3}, y = \frac{1}{2}$.

2) Дано уравнение $x - 2yi = -1 - \sqrt{3}i$.
Приравниваем действительные части:
$x = -1$
Приравниваем мнимые части:
$-2y = -\sqrt{3}$
Решаем второе уравнение относительно $y$:
$y = \frac{-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $x = -1, y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Дано уравнение $2x - (3 + y)i = -4 + 5,3i$.
Приравниваем действительные части:
$2x = -4$
Приравниваем мнимые части:
$-(3 + y) = 5,3$
Из первого уравнения находим $x$:
$x = \frac{-4}{2} = -2$.
Из второго уравнения находим $y$:
$-3 - y = 5,3 \implies -y = 5,3 + 3 \implies -y = 8,3 \implies y = -8,3$.
Ответ: $x = -2, y = -8,3$.

4) Дано уравнение $-3x + \left(y - \frac{3}{4}\right)i = 1,5 + \frac{1}{4}i$.
Приравниваем действительные части:
$-3x = 1,5$
Приравниваем мнимые части:
$y - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Из первого уравнения находим $x$:
$x = \frac{1,5}{-3} = -0,5$.
Из второго уравнения находим $y$:
$y = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Ответ: $x = -0,5, y = 1$.

5) Дано уравнение $(x + y) + (x - y)i = 3 + i$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 3 + 1$, что дает $2x = 4$, откуда $x = 2$.
Подставим значение $x=2$ в первое уравнение: $2 + y = 3$, откуда $y = 1$.
Ответ: $x = 2, y = 1$.

6) Дано уравнение $(5x - y) + (x + y)i = 7 - i$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему линейных уравнений:
$\begin{cases} 5x - y = 7 \\ x + y = -1 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(5x - y) + (x + y) = 7 + (-1)$, что дает $6x = 6$, откуда $x = 1$.
Подставим значение $x=1$ во второе уравнение: $1 + y = -1$, откуда $y = -2$.
Ответ: $x = 1, y = -2$.